Что следует вычислить для определения объема конуса, если площадь полной поверхности треугольной пирамиды, описанной

Янтарное

59

Для вычисления объема конуса в данной задаче, нам требуется выработать несколько шагов.

Шаг 1: Найдем радиус конуса.
Для этого рассмотрим площадь боковой поверхности конуса и воспользуемся формулой: \(S_{конуса} = \pi r l\), где \(S_{конуса}\) - площадь боковой поверхности конуса, \(r\) - радиус конуса, а \(l\) - образующая конуса.
Мы знаем, что площадь боковой поверхности конуса составляет 20π см^2. Подставим эти значения и рассчитаем радиус:
\[20\pi = \pi r l\]

Шаг 2: Найдем высоту конуса.
Для этого рассмотрим пирамиду, описанную вокруг конуса, и воспользуемся данными. Площадь полной поверхности треугольной пирамиды составляет 189 см^2, а площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 105 см^2.
Заметим, что площадь полной поверхности пирамиды включает в себя площадь основания пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и площади боковой поверхности:
\[S_{пирамиды} = S_{основания} + S_{боковой поверхности}\]
\[189 = S_{основания} + 105\]

Шаг 3: Найдем площадь основания пирамиды.
Для этого выразим площадь основания пирамиды через радиус конуса. Так как основание пирамиды - это окружность, то площадь основания можно найти по формуле \(S_{основания} = \pi r^2\).

Шаг 4: Найдем образующую конуса и высоту конуса.
Выберем одно из уравнений: либо уравнение из шага 1, либо уравнение из шага 2 (с площадями поверхностей пирамиды).
Подставим в выбранное уравнение найденную площадь основания пирамиды:
\[\pi r^2 + 105 = 189\]
Отсюда найдем радиус конуса \(r\).

Шаг 5: Найдем объем конуса.
Для этого воспользуемся известной формулой объема конуса: \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(V_{конуса}\) - объем конуса, \(r\) - радиус конуса, а \(h\) - высота конуса.
Подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу и вычислим объем конуса.

Последовательность шагов позволит нам точно вычислить объем конуса. Не забывайте указывать все промежуточные вычисления и объяснять каждый шаг, чтобы ответ был понятен школьнику.