Что такое четвёртый коэффициент в разложении пятой степени бинома (a+3)?

Алексей

9

Четвертый коэффициент в разложении пятой степени бинома (a+3) определяется с помощью биномиального разложения. Биномиальное разложение — это процесс разложения бинома в виде суммы множителей, где каждый множитель представляет собой произведение соответствующих коэффициентов и степеней переменных.

Для нашего случая разложения (a+3)^5, мы можем использовать формулу биномиального разложения, известную как формула Бинома Ньютона:

\[(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{(n-1)}b^1 + C(n,2)a^{(n-2)}b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n\]

где:
- \(C(n,k)\) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- \(n\) - степень бинома
- \(a\) и \(b\) - переменные

В нашем случае, биномиальный коэффициент для каждого члена будет иметь вид \(C(5,k)\), где \(k\) - степень переменной \(a\). Мы хотим найти четвертый член в разложении (a+3)^5, то есть коэффициент при \(a^1\) и \(b^4\). Так как \(k\) и \(n\) в данном случае равны 4, получаем:

\[C(5,4)a^1 b^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!}a^1 3^4 = 5a \cdot 81 = 405a\]

Таким образом, четвертый коэффициент в разложении пятой степени бинома (a+3) равен 405.