Что такое медиана треугольника авс, если его вершины находятся в точках а(2; 4), в(-5; -1), с(3

Solnechnyy_Kalligraf

22

Для решения данной задачи, нам необходимо определить медиану треугольника. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Для начала найдем координаты середины стороны aс. Для этого мы можем использовать формулы нахождения средней точки для двух заданных точек.

Координаты середины стороны aс будут равны средним значениям координат вершин a и с:
\[x_{ac} = \frac{x_a + x_c}{2} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\]
\[y_{ac} = \frac{y_a + y_c}{2} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Таким образом, середина стороны aс имеет координаты (2.5; 2).

Далее, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через вершину b(-5; -1) и середину стороны aс (2.5; 2). Мы можем использовать формулу точки и уклона, чтобы найти уравнение данной прямой.

Сначала находим уклон прямой:
\[m_{bc} = \frac{y_c - y_b}{x_c - x_b} = \frac{2 - (-1)}{2.5 - (-5)} = \frac{3}{7.5} = \frac{2}{5}\]

Затем используем формулу точки и уклона для нахождения уравнения прямой:
\[y - y_b = m_{bc}(x - x_b)\]
\[y - (-1) = \frac{2}{5}(x - (-5))\]
\[y + 1 = \frac{2}{5}(x + 5)\]
\[y + 1 = \frac{2}{5}x + 2\]
\[y = \frac{2}{5}x + 1\]

Таким образом, уравнение прямой bc имеет вид \(y = \frac{2}{5}x + 1\).

Последний шаг - найти точку пересечения медианы ad с прямой bc. Для этого приравняем уравнение медианы ad к уравнению прямой bc и найдем координаты точки пересечения.

\[y = \frac{2}{5}x + 1\]
\[y = -\frac{2}{5}x + b\]

Подставим координаты точки а в это уравнение:
\[4 = -\frac{2}{5} \cdot 2 + b\]
\[4 = -\frac{4}{5} + b\]
\[b = \frac{4}{5} + \frac{4}{5}\]
\[b = \frac{8}{5}\]

Таким образом, уравнение прямой ad имеет вид \(y = -\frac{2}{5}x + \frac{8}{5}\).

Осталось найти точку пересечения этих двух прямых. Для этого приравняем уравнения и найдем значения x и y:

\[\frac{2}{5}x + 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{8}{5}\]
\[\frac{4}{5}x = \frac{3}{5}\]
\[x = \frac{3}{4}\]

Подставим значение x в любое из уравнений и найдем значение y:

\[y = -\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{8}{5}\]
\[y = -\frac{3}{10} + \frac{8}{5}\]
\[y = -\frac{3}{10} + \frac{16}{10}\]
\[y = \frac{13}{10}\]

Таким образом, точка пересечения медианы ad с прямой bc имеет координаты \(\left(\frac{3}{4}; \frac{13}{10}\right)\).

Итак, медиана треугольника авс проходит через вершину а(2; 4) и имеет точку пересечения с прямой bc в точке \(\left(\frac{3}{4}; \frac{13}{10}\right)\).