Каков объём пирамиды, у которой в основании лежит прямоугольный треугольник со сторонами 9 см и 40 см и все боковые

Звездопад_Шаман

39

Данная пирамида имеет прямоугольный треугольник в качестве основания, со сторонами 9 см и 40 см, и все боковые ребра образуют углы в 45° с плоскостью основания. Чтобы найти объем пирамиды, нужно использовать формулу \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

Начнем с нахождения площади основания пирамиды. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле \(S_{\text{пр}} = \frac{1}{2} \times a \times b\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставляя известные значения, получаем:

\(S_{\text{пр}} = \frac{1}{2} \times 9 \, см \times 40 \, см = 180 \, см^2\).

Теперь осталось найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся свойством прямоугольного треугольника. Высота пирамиды проходит через вершину прямого угла треугольника и является перпендикулярной к основанию треугольника.

Так как боковые ребра пирамиды образуют углы 45° с плоскостью основания, то боковые ребра пирамиды являются радиусами поперечного сечения, и они равны половине длины диагонали основания.

Диагональ треугольника можно найти по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставляем известные значения и находим диагональ основания:

\(d = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \, см\).

Находим половину длины диагонали:

\(r = \frac{41 \, см}{2} = 20.5 \, см\).

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора op^2 = hyp^2 - adj^2 и зная один из радиусов и длину противолежащей гипотенузе.

\(\text{Высота}^2 = 41^2 - 20.5^2\),
\(\text{Высота} = \sqrt{41^2 - 20.5^2} = \sqrt{1681 - 420.25} = \sqrt{1260.75} \approx 35.51 \, см\).

Теперь, подставляя найденные значения площади основания и высоты пирамиды в формулу объема, получаем:

\(V = \frac{1}{3} \times 180\,см^2 \times 35.51\,см \approx 180\,см^2 \times 35.51\,см \times \frac{1}{3} \approx 2135.78\,см^3\).

Итак, объем пирамиды составляет около 2135.78 кубических сантиметров.