Какова мера в градусах угла АСВ, если длина дуги окружности АВ составляет 6• и отрезок АС равен хорде

Artemovich

49

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно использовать два важных свойства окружности:

1. Длина дуги \(s\) окружности равна произведению меры угла \(\theta\) в радианах и радиуса \(r\): \(s = \theta \cdot r\).
2. Длина хорды \(AB\) равна удвоенному произведению радиуса \(r\) на синус половины угла \(\theta / 2\).

Дано, что длина дуги \(AB\) составляет 6◦, что равно 1/60 части от окружности (так как окружность состоит из 360◦).

Также, длина отрезка \(AC\) равна хорде.

Для начала, нам надо найти длину окружности \(C\) и радиус \(r\):

Так как длина дуги \(AB\) составляет 1/60 часть окружности, то длина окружности \(C\) будет равна:
\[C = 60 \cdot 6◦ = 360◦\]

Теперь, чтобы найти радиус \(r\), мы можем использовать формулу:

\[C = 2 \pi r\]

Отсюда следует:

\[r = \frac{C}{2 \pi} = \frac{360◦}{2 \pi} \approx 57.2958◦\]

Теперь, мы можем использовать второе свойство окружности:

\[AB = 2r \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)\]

Так как отрезок \(AC\) равен хорде \(AB\), мы заменяем \(AB\) на \(AC\):

\[AC = 2r \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)\]

Теперь, нам нужно найти меру угла \(\theta\) в градусах. Для этого, мы можем выразить угол из этого уравнения:

\[\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{AC}{2r}\]

Теперь возьмем арксинус от обеих сторон уравнения:

\[\frac{\theta}{2} = \arcsin\left( \frac{AC}{2r} \right)\]

Домножим оба выражения на 2, чтобы найти меру угла \(\theta\):

\[\theta = 2 \arcsin\left( \frac{AC}{2r} \right)\]

Подставим значения \(AC\) и \(r\):

\[\theta = 2 \arcsin\left( \frac{AC}{2 \cdot 57.2958◦} \right)\]

Таким образом, мера угла \(\theta\) будет равна:

\[\theta ≈ 2 \arcsin\left( \frac{AC}{114.5916◦} \right)\]