Что такое радиус вписанной в основание окружности правильной восьмиугольной пирамиды (рис. 11), если известно

Черная_Роза

26

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале определим некоторые понятия. Радиусом вписанной окружности называется расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности. Основание восьмиугольной пирамиды - это многоугольник, который является основанием пирамиды и имеет восемь вершин. Теперь, для решения задачи, нам необходимо найти радиус этой вписанной окружности.

Для начала давайте рассмотрим основание пирамиды и вписанную окружность на рисунке. У восьмиугольной пирамиды основание состоит из восьми равных треугольников, а вписанная окружность касается всех сторон треугольников. Таким образом, каждая сторона треугольника является касательной к окружности.

Теперь рассмотрим один из треугольников на основании пирамиды. Давайте обозначим сторону треугольника как \(a\), а радиус вписанной окружности как \(r\). Известно, что боковая поверхность пирамиды равна 25.

Поскольку боковая поверхность выпуклого многогранника равна сумме площадей всех его боковых поверхностей, мы можем записать следующее уравнение:

\[25 = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot r\]

Здесь \(8\) - количество боковых поверхностей, \(\frac{1}{2}\) - коэффициент, общий для всех боковых поверхностей восьмиугольной пирамиды.

Теперь давайте избавимся от неизвестного значения стороны \(a\), разделив уравнение на \(8r\):

\[3.125 = a \cdot r\]

Таким образом, мы получили выражение для произведения \(a \cdot r\), которое равно 3.125.

Далее рассмотрим один из равнобедренных треугольников на основании пирамиды. Такой треугольник образован стороной треугольника \(a\) и радиусом \(r\). Поскольку треугольник равнобедренный, мы можем использовать свойство равенства оснований равнобедренного треугольника.

Таким образом, длина стороны \(a\) равна удвоенному расстоянию от центра окружности до основания треугольника. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности \(r\). Следовательно, мы можем записать:

\[a = 2r\]

Теперь мы можем заменить \(a\) в уравнении \(3.125 = a \cdot r\) на \(2r\):

\[3.125 = 2r \cdot r\]

Упростим это уравнение:

\[3.125 = 2r^2\]

Для нахождения значения радиуса \(r\) возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[\sqrt{3.125} = \sqrt{2r^2}\]

В результате получим:

\[r \approx 1.403\]

Таким образом, радиус вписанной в основание окружности правильной восьмиугольной пирамиды составляет примерно 1.403.