Что такое уравнение касательной к графику функции y=7/4x^4/7+x^-3 в заданной точке?

Щука

27

Для начала, чтобы понять, что такое уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам необходимо знать, что такое касательная. Касательная - это прямая, которая касается графика функции в определенной точке и имеет одинаковый наклон с этим графиком в данной точке.

Теперь приступим к решению задачи. У нас дана функция y = \(\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}} + x^{-3}\) и мы хотим найти уравнение касательной к графику этой функции в заданной точке. Пусть данная точка имеет координаты (a, b). Чтобы найти уравнение касательной, мы должны найти значение производной функции в данной точке.

Первым шагом найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и суммы функций.

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}} + x^{-3}\right)
\]

Теперь продифференцируем каждый член этой суммы по отдельности.

1. Дифференцируем \(\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}}\):

Используем правило дифференцирования степенной функции, где a - это константа и n - это степень.

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}}\right) = \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7}x^{\frac{4}{7} - 1} = x^{-\frac{3}{7}}\)

2. Дифференцируем \(x^{-3}\):

Используем правило дифференцирования степенной функции с отрицательной степенью:

\(\frac{d}{dx}\left(x^{-3}\right) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}\)

Теперь, найдя производную функции, мы можем записать уравнение касательной. Уравнение касательной в точке (a, b) имеет вид:

\(y - b = m(x - a)\),

где m - наклон касательной, который является значением производной функции в данной точке.

Таким образом, уравнение касательной в заданной точке (a, b) будет:

\(y - b = \frac{dy}{dx}(a)(x - a)\),

где \(\frac{dy}{dx}(a)\) представляет собой значение производной в точке x = a.

В нашем случае, функция y = \(\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}} + x^{-3}\), поэтому производная:

\(\frac{dy}{dx} = x^{-\frac{3}{7}} - 3x^{-4}\).

Итак, уравнение касательной в точке (a, b) будет:

\(y - b = (a^{-\frac{3}{7}} - 3a^{-4})(x - a)\).

Таким образом, мы получаем уравнение касательной для функции y = \(\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}} + x^{-3}\) в заданной точке (a, b):

\(y - b = (a^{-\frac{3}{7}} - 3a^{-4})(x - a)\).