Что такое значение выражения 7-24sin^2a*cos^2a, если sin2a=-1/6?

Morskoy_Plyazh

31

Для решения данной задачи, нам нужно найти значение выражения \(7 - 24\sin^2a\cos^2a\), при условии \(\sin 2a = -\frac{1}{6}\).

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\). Подставив вместо \(\sin 2a\) значение \(-\frac{1}{6}\), получаем:

\(-\frac{1}{6} = 2\sin a\cos a\).

Теперь давайте разберемся, как найти \(\sin a\) и \(\cos a\), зная значение \(\sin 2a\).

Используя тригонометрическую формулу \(\sin^2a + \cos^2a = 1\), давайте найдем значение \(\cos a\). Подставим вместо \(\sin a\) значение \(-\frac{1}{6}\) и решим уравнение:

\((-1/6)^2 + \cos^2 a = 1\).

Вычисляя выражение \((-1/6)^2\), получим \(\frac{1}{36}\). Заменим это значение в уравнении:

\(\frac{1}{36} + \cos^2 a = 1\).

Теперь решим это уравнение, вычитая \(\frac{1}{36}\) из обеих сторон:

\(\cos^2 a = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\).

Чтобы получить значение \(\cos a\), возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\(\cos a = \pm \sqrt{\frac{35}{36}}\).

Поскольку угол \(a\) находится в третьем квадранте, где косинус отрицательный, возьмем отрицательный корень:

\(\cos a = -\sqrt{\frac{35}{36}}\).

Теперь, используя найденное значение \(\cos a\), найдем значение \(\sin a\). Воспользуемся тригонометрической формулой \(\sin a = \frac{\sin 2a}{2\cos a}\):

\(\sin a = \frac{-\frac{1}{6}}{2 \cdot -\sqrt{\frac{35}{36}}} = \frac{-1}{12\sqrt{\frac{35}{36}}}\).

Теперь у нас есть значения \(\sin a\) и \(\cos a\) для подстановки в изначальное выражение:

\(7 - 24\sin^2a\cos^2a = 7 - 24\left(\frac{-1}{12\sqrt{\frac{35}{36}}}}\right)^2 \cdot \left(-\sqrt{\frac{35}{36}}\right)^2\).

Возводим квадраты:

\(7 - 24 \cdot \left(\frac{-1}{12\sqrt{\frac{35}{36}}}\right)^2 \cdot \left(-\sqrt{\frac{35}{36}}\right)^2 = 7 - 24 \cdot \left(\frac{-1}{12\sqrt{\frac{35}{36}}}\right)^2 \cdot \frac{35}{36}\).

Теперь давайте произведем несколько вычислений:

\(\frac{-1}{12\sqrt{\frac{35}{36}}}\) - это около -0.0802.

Подставим это в выражение:

\(7 - 24 \cdot (-0.0802)^2 \cdot \frac{35}{36} = 7 - 24 \cdot 0.006432 \cdot0.9722\).

Упростим это:

\(7 - 0.1867938 \approx 6.8132062\).

Итак, значение выражения \(7 - 24\sin^2a\cos^2a\) равно около \(6.8132062\).