Чтобы найти радиус сферы, в которой лежат вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см, необходимо

Оса_6629

2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится теорема о трех перпендикулярах. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла к гипотенузе, делит ее на две отрезка таким образом, что их произведение равно квадрату длины высоты, опущенной на гипотенузу.

Давайте обозначим расстояние от центра сферы до плоскости треугольника как \(d\), а радиус этой сферы как \(r\). Обозначим половину гипотенузы как \(h\), а катеты треугольника как \(a\) и \(b\).

Так как вершины треугольника лежат на сфере, это означает, что эти вершины находятся на равном расстоянии \(r\) от центра сферы. Кроме того, мы знаем, что треугольник прямоугольный, поэтому гипотенуза треугольника является диаметром сферы.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы и половину её (\(h\)):
\[h = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}\]

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Мы знаем, что произведение длины отрезков гипотенузы, создаваемых перпендикуляром, равно квадрату длины высоты, опущенной на гипотенузу:
\[ab = h^2\]
\[ab = 12^2\]
\[ab = 144\]

Так как длины катетов обозначаются как \(a\) и \(b\) в задаче, мы должны выразить их через радиус \(r\) и расстояние \(d\). Нашей целью является нахождение расстояния \(d\), поэтому нам нужно избавиться от переменных \(a\) и \(b\).

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, примененную к частями гипотенузы и высоте:
\[(r - d)^2 + (r - d)^2 = (a + b)^2\]

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, мы получим:
\[2r^2 - 4rd + 2d^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Мы также знаем, что \(ab = 144\), поэтому можем заменить эту переменную:
\[2r^2 - 4rd + 2d^2 = a^2 + 2 \cdot 144 + b^2\]

Учитывая, что \(a^2 + b^2 = h^2\), мы можем продолжить уравнение:
\[2r^2 - 4rd + 2d^2 = 144 + h^2\]
\[2r^2 - 4rd + 2d^2 = 144 + 12^2\]
\[2r^2 - 4rd + 2d^2 = 144 + 144\]
\[2r^2 - 4rd + 2d^2 = 288\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно переменной \(d\). Мы получим квадратное уравнение:
\[2d^2 - 4rd + (2r^2 - 288) = 0\]

Мы можем решить это уравнение, используя дискриминант:
\[D = (-4r)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2r^2 - 288)\]
\[D = 16r^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2r^2 - 288)\]
\[D = 16r^2 - 16(4r^2 - 288)\]
\[D = 16r^2 - 64r^2 + 4608\]
\[D = -48r^2 + 4608\]

Когда дискриминант равен 0 (или положительному числу), квадратное уравнение имеет решение. Так как в этом случае квадратное уравнение имеет решение, мы можем продолжить и найти значение переменной \(d\).

Решим уравнение \(D = 0\):
\[-48r^2 + 4608 = 0\]
\[-48r^2 = -4608\]
\[r^2 = \frac{-4608}{-48}\]
\[r^2 = 96\]

Мы нашли значение \(r^2\), но нас интересует значение \(r\) – радиус сферы. Найдем квадратный корень от \(r^2\):
\[r = \sqrt{96}\]
\[r \approx 9.80\]

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольного треугольника составляет примерно 9.80 см.