Данная десятичная дробь 0,268 можно представить в виде несократимой обыкновенной дроби

Evgeniy

12

Хорошо! Давайте решим задачу о представлении десятичной дроби 0,268 в виде несократимой обыкновенной дроби.

Для начала, давайте выразим данную десятичную дробь как обыкновенную дробь вида \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - целые числа без общих делителей, кроме 1.

Чтобы сделать это, нам нужно разделить число 0,268 на 1, чтобы получить целую и дробную части. Таким образом, мы можем записать это следующим образом:

\[0,268 = a + \frac{b}{1}\]

Используя деление, мы получим:

\[0,268 = a + \frac{b}{10}\]

Теперь давайте умножим обе части уравнения на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков:

\[1000 \cdot 0,268 = 1000a + \frac{1000b}{10}\]

\[268 = 1000a + 100b\]

Здесь мы видим, что десятичное число 0,268 равно сумме двух целых чисел \(1000a\) и \(100b\).

Теперь давайте проанализируем это уравнение. Делаются несколько наблюдений:

1) Оба \(1000a\) и \(100b\) должны делиться на 100, так как они кратны 100.

2) \(268 = 2 \cdot 2 \cdot 67\), то есть 268 - составное число.

Исходя из этих наблюдений, мы можем сделать вывод, что дробь \(\frac{268}{1000}\) может быть сокращена путем деления числителя и знаменателя на наибольший общий делитель (НОД) чисел 268 и 1000.

Найти НОД 268 и 1000 можно, используя алгоритм Евклида. Он заключается в последовательных делениях и получении остатков до тех пор, пока не получим 0, а делитель на котором получили 0, и есть НОД.

Применяя алгоритм Евклида, мы получим:

\[
\begin{align*}
1000 &= 268 \cdot 3 + 196 \\
268 &= 196 \cdot 1 + 72 \\
196 &= 72 \cdot 2 + 52 \\
72 &= 52 \cdot 1 + 20 \\
52 &= 20 \cdot 2 + 12 \\
20 &= 12 \cdot 1 + 8 \\
12 &= 8 \cdot 1 + 4 \\
8 &= 4 \cdot 2 + 0 \\
\end{align*}
\]

Когда мы получили остаток 0, это означает, что наше последнее деление дало нам НОД чисел 268 и 1000, которое равно 4.

Теперь давайте сократим дробь \(\frac{268}{1000}\), разделив числитель и знаменатель на 4:

\[
\frac{268}{1000} = \frac{268 \div 4}{1000 \div 4} = \frac{67}{250}
\]

Таким образом, десятичная дробь 0,268 может быть представлена в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac{67}{250}\).