Дано 50+ Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды TABCD плоскостью, которая пересекает медиану

Сладкий_Ассасин

45

Дано: Правильная четырехугольная пирамида TABCD, высота которой равна 3 (пусть это будет величина h), сторона основания ABCD (пусть это будет величина a).

Мы должны найти площадь сечения пирамиды плоскостью, которая пересекает медиану BN и параллельна медиане AM.

Для решения этой задачи мы можем использовать базовые знания о геометрии и формулы для нахождения площади различных фигур.

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды ABCD.
Поскольку пирамида TABCD является правильной, то основание ABCD - это квадрат. Площадь квадрата можно найти, умножив длину стороны на саму себя. Таким образом, площадь основания пирамиды равна: \[S_{\text{основания}} = a^2\].

Шаг 2: Найдем площадь треугольника TBC.
Поскольку медиана BN параллельна плоскости, проходящей через TBC, и пересекает ее, то треугольник TBC делится на два равных треугольника BN и CTB. Площадь треугольника TBC равна половине произведения стороны CT и высоты TBC, то есть половине площади треугольника CTB: \[S_{\text{треугольника } TBC} = \frac{1}{2} \cdot S_{\text{треугольника } CTB}\].
Так как сторона CT равна стороне AB (по условию задачи), площадь треугольника CTB равна половине произведения стороны AB и медианы BT, параллельной медиане AM: \[S_{\text{треугольника } CTB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BT\].
Медиана BT треугольника ABT - это половина длины диагонали BD квадрата ABCD. Так как сторона квадрата ABCD равна a, то длина диагонали BD равна \(\sqrt{2} \cdot a\). Таким образом, \[BT = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a\].
Подставляя значения в формулу, получаем: \[S_{\text{треугольника } TBC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2} \cdot a^2\].

Шаг 3: Найдем площадь сечения пирамиды.
Сечение пирамиды происходит плоскостью, которая пересекает медиану BN боковой грани TBC и параллельна медиане AM боковой грани TAB. Таким образом, сечение является прямоугольником, ширина которого равна длине медианы BN, а высота - длине медианы AM. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его ширину на высоту: \[S_{\text{сечения}} = BN \cdot AM\].
Медиана BN треугольника ABC равна \(\frac{2}{3}\) от прямой BS, где S - это середина стороны AB квадрата ABCD. Длина стороны AB равна a, следовательно, \[BS = \frac{1}{2} \cdot a\] и \[BN = \frac{2}{3} \cdot BS = \frac{1}{3} \cdot a\].
Медиана AM треугольника ABC равна \(\frac{2}{3}\) от прямой AR, где R - это середина стороны BC квадрата ABCD. Длина стороны BC равна a, следовательно, \[AR = \frac{1}{2} \cdot a\] и \[AM = \frac{2}{3} \cdot AR = \frac{1}{3} \cdot a\].
Подставляя значения в формулу, получаем: \[S_{\text{сечения}} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{3} \cdot a = \frac{1}{9} \cdot a^2\].

Таким образом, площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды TABCD плоскостью, которая пересекает медиану BN боковой грани TBC и параллельна медиане AM боковой грани TAB, равна \(\frac{1}{9} \cdot a^2\).