Дано: f(x)={x2+2x, при x∈[−4;1]; x−−√+2, при x∈(1;4] Постройте график данной функции. Найдите интервалы, на которых

Звук

11

Для начала построим график данной функции. У нас есть два участка функции, один при \(x \in [-4, 1]\) и другой при \(x \in (1, 4]\).

На первом участке функция задана как \(f(x) = x^2 + 2x\), а на втором участке она равна \(f(x) = \sqrt{x} + 2\).

Чтобы построить график, мы будем использовать эти два участка и соединим их вместе.

На первом участке (\(x \in [-4, 1]\)) функция \(f(x) = x^2 + 2x\) является параболой с ветвями, направленными вверх. Мы можем найти вершину параболы, используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты параболы \(f(x) = ax^2 + bx + c\). В данном случае \(a = 1\) и \(b = 2\), поэтому:

\[x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\]

Подставляя это значение \(x\) в уравнение параболы, получим \(y\)-координату вершины:

\[y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1\]

Так что вершина параболы на первом участке находится в точке \((-1, -1)\). Также, функция \(f(x)\) на этом участке возрастает.

На втором участке (\(x \in (1, 4]\)) функция \(f(x) = \sqrt{x} + 2\) является корнем квадратным функцией. Здесь нам нужно найти интервал, в котором выполняется корень. Обратите внимание, что корень из \(x\) может быть только неотрицательным числом или нулем.

Если \(x \in [1, 4]\), то корень будет неотрицательным и мы можем вычислить значения функции на этом участке.

Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, мы можем взять производную функции \(f(x)\) и рассмотреть знаки этой производной.

На первом участке (\(x \in [-4, 1]\)) производная функции \(f"(x)\) будет равна:

\[f"(x) = 2x + 2\]

Подставляя некоторые значения \(x\) в это уравнение, мы можем определить знаки производной:

При \(x = -3\): \(f"(-3) = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4\) (отрицательное значение)
При \(x = 0\): \(f"(0) = 2(0) + 2 = 0 + 2 = 2\) (положительное значение)

Таким образом, на первом участке (\(x \in [-4, 1]\)) функция возрастает на интервале \((-1, 4)\).

На втором участке (\(x \in (1, 4]\)) производная функции \(f"(x)\) равна:

\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Так как знаменатель неотрицательный для любого значения \(x\) на этом участке, то функция возрастает на всем участке \((1, 4]\).

Чтобы найти экстремумы функции, мы можем взять вторую производную \(f""(x)\) и проверить, изменяется ли знак этой производной в области, где происходит изменение инкремента. Если знак меняется, у нас есть экстремум.

На первом участке (\(x \in [-4, 1]\)) вторая производная \(f""(x)\) равна:

\[f""(x) = 2\]

Это положительная константа, поэтому не существует экстремума на первом участке.

На втором участке (\(x \in (1, 4]\)) вторая производная \(f""(x)\) также равна:

\[f""(x) = \frac{-1}{4x^{\frac{3}{2}}}\]

Это отрицательное значение для любого положительного значения \(x\), значит, на втором участке у нас есть максимум в точке \((4, 4)\).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке, мы можем подставить граничные значения каждого участка в уравнение функции \(f(x)\).

На первом участке (\(x \in [-4, 1]\)), подставляем \(x = -4\):

\[f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8\]

На втором участке (\(x \in (1, 4]\)), подставляем \(x = 4\):

\[f(4) = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4\]

Таким образом, на первом участке наибольшее значение функции равно 8, а на втором участке наибольшее значение равно 4.

На первом участке наименьшее значение функции равно -1, так как это вершина параболы. На втором участке нет наименьшего значения, так как функция \(f(x)\) неограничена снизу.

Интервалы, на которых знак функции постоянен:

На первом участке (\(x \in [-4, 1]\)), функция положительна на интервале \((-4, -1)\). Затем функция отрицательна на интервале \((-1, 1]\).

На втором участке (\(x \in (1, 4]\)), функция положительна на всем интервале.

Теперь найдем нули функции и точки пересечения с осями \(x\) и \(y\).

Чтобы найти нули функции, мы должны найти значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\).

На первом участке (\(x \in [-4, 1]\)), подставляем \(f(x) = 0\):

\[x^2 + 2x = 0\]

Мы можем разложить это уравнение на множители:

\[x(x + 2) = 0\]

Так что \(x = 0\) или \(x = -2\). Итак, на первом участке функция имеет нули в точках \((0, 0)\) и \((-2, 0)\).

На втором участке (\(x \in (1, 4]\)), подставляем \(f(x) = 0\):

\[\sqrt{x} + 2 = 0\]

Вычитая 2 из обеих сторон, получаем:

\[\sqrt{x} = -2\]

Так как корень не может быть отрицательным, то на втором участке функция не имеет нулей.

Чтобы найти точки пересечения с осями \(x\) и \(y\), мы можем подставить \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение функции \(f(x)\).

Подставляя \(x = 0\):

\[f(0) = 0^2 + 2(0) = 0\]

Итак, функция пересекает ось \(y\) в точке \((0, 0)\).

Мы уже знаем, что на первом участке функция пересекает ось \(x\) в точках \((0, 0)\) и \((-2, 0)\).

Таким образом, у нас есть следующие результаты:

1. Интервал возрастания функции: \(x \in (-1, 4)\)
2. Интервал убывания функции: \(x \in [-4, -1]\)
3. Экстремум функции: Минимум функции равен -1
4. Наибольшее значение функции: 8
5. Наименьшее значение функции на первом участке: -1
6. Знак функции постоянен на первом участке \((-4, -1)\)
7. Нули функции: \((0, 0)\) и \((-2, 0)\)
8. Точка пересечения с осью \(y\): \((0, 0)\)
9. Точки пересечения с осью \(x\) на первом участке: \((0, 0)\) и \((-2, 0)\)

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять данную задачу. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!