Даны два вектора `veca=3veci-2vecj` и `vecb=-veci+5vecj`. Найдите: а) составляющую вектора `vecb` вдоль оси `y` (ответ

Красавчик

55

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

а) Для нахождения составляющей вектора `vecb` вдоль оси `y` нам нужно найти координату `y` вектора `vecb`. Для этого мы можем использовать следующую формулу: \(vecb_y = vecb \cdot vecj\), где `vecb_y` - искомая составляющая вектора `vecb` вдоль оси `y`, \(vecb\) - вектор `vecb`, и `vecj` - единичный вектор вдоль оси `y`.

Выражение `vecb \cdot vecj` означает скалярное произведение между вектором `vecb` и `vecj`. Подставляя значения `vecb=-veci+5vecj` и `vecj=vecj`, получаем:

\[vecb_y = (-veci+5vecj) \cdot vecj\]

Выполняя скалярное произведение, получим:

\[vecb_y = (-veci \cdot vecj) + (5vecj \cdot vecj)\]

Так как скалярное произведение единичного вектора `vecj` с самим собой равно 1, а сопряженных осей равно 0, то:

\[-veci \cdot vecj = 0\]

\[5vecj \cdot vecj = 5 \cdot 1 \cdot vecj = 5vecj\]

Таким образом, получаем:

\[vecb_y = 0 + 5vecj = 5vecj\]

Ответ: составляющая вектора `vecb` вдоль оси `y` равна `5vecj`.

б) Чтобы найти произведение вектора `vecb` и вектора `vecj`, мы будем использовать формулу для векторного произведения: \(vecb \times vecj\).

Выражение `vecb \times vecj` означает векторное произведение между вектором `vecb` и `vecj`. В данном случае, так как вектор `vecj` является единичным вектором, векторное произведение будет вычислено следующим образом:

\[vecb \times vecj = (vecb_y \cdot vecj - vecb_x \cdot veci)\]

Так как мы уже знаем, что `vecb_y = 5vecj`, а `vecb_x = -veci+5vecj`, подставляем эти значения:

\[vecb \times vecj = (5vecj \cdot vecj - (-veci+5vecj) \cdot veci)\]

Обратите внимание, что скалярное произведение двух векторов перестановочное.

Выполняя скалярное произведение, получим:

\[vecb \times vecj = (5 \cdot 1 \cdot vecj - (-1+5 \cdot 1) \cdot veci)\]

Упрощая, получим:

\[vecb \times vecj = (5vecj - (4veci))\]

\[vecb \times vecj = 5vecj - 4veci\]

Ответ: произведение вектора `vecb` и вектора `vecj` равно `5vecj - 4veci`.

в) Чтобы найти координату `y` вектора `vecb`, мы можем использовать формулу для компонента вектора: `b_y = vecb \cdot vecj`.

Подставляя значения `vecb=-veci+5vecj` и `vecj=vecj`, получаем:

\[b_y = (-veci+5vecj) \cdot vecj\]

Выполняя скалярное произведение, получим:

\[b_y = (-veci \cdot vecj) + (5vecj \cdot vecj)\]

Как и в предыдущим шаге `vecj \cdot vecj = 1`, а `veci \cdot vecj = 0`, получаем:

\[b_y = 0 + 5vecj = 5vecj\]

Ответ: координата `y` вектора `vecb` равна `5vecj`.

г) Для нахождения скалярного произведения векторов `veca` и `vecb`, мы будем использовать формулу: \(veca \cdot vecb = veca_x \cdot vecb_x + veca_y \cdot vecb_y\).

Подставляя значения `veca=3veci-2vecj` и `vecb=-veci+5vecj`, получаем:

\[veca \cdot vecb = (3veci-2vecj) \cdot (-veci+5vecj)\]

Раскрывая скобки и выполняя скалярное произведение, получим:

\[veca \cdot vecb = (3 \cdot -1 \cdot veci \cdot veci) + (3 \cdot 5 \cdot veci \cdot vecj) + (-2 \cdot -1 \cdot vecj \cdot veci) + (- 2 \cdot 5 \cdot vecj \cdot vecj)\]

Так как скалярное произведение сопряженных осей равно 0, а скалярное произведение двух одинаковых единичных векторов равно 1, получаем:

\[veca \cdot vecb = (-3veci \cdot veci) + (15veci \cdot vecj) + (2vecj \cdot veci) - (10vecj \cdot vecj)\]

Упрощая, получим:

\[veca \cdot vecb = (-3 \cdot 1) + (15 \cdot 0) + (2 \cdot 0) - (10 \cdot 1)\]

\[veca \cdot vecb = -3 - 10 = -13\]

Ответ: скалярное произведение векторов `veca` и `vecb` равно `-13`.

д) Чтобы найти произведение `(veca+2vecb)(3veca-vecb)`, мы будем использовать формулу для произведения двух пар векторов: \(vec1 \cdot vec2 = vec1_x \cdot vec2_x + vec1_y \cdot vec2_y\), где `vec1` и `vec2` - пары векторов.

Подставляя значения `veca=3veci-2vecj` и `vecb=-veci+5vecj`, получаем:

\[(veca+2vecb)(3veca-vecb) = (3veci-2vecj+2(-veci+5vecj))(3(3veci-2vecj)-(-veci+5vecj))\]

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

\[(3veci-2vecj-2veci+10vecj)(9veci-6vecj+veci-5vecj)\]

\[(veci+8vecj)(10veci-11vecj)\]

Выполняя умножение, получим:

\[veci \cdot 10veci + veci \cdot -11vecj + 8vecj \cdot 10veci + 8vecj \cdot -11vecj\]

Так как скалярное произведение сопряженных осей равно 0, получаем:

\[veci \cdot 10veci + 8vecj \cdot -11vecj\]

Выполняя скалярное произведение, получим:

\[10(veci \cdot veci) + -11(vecj \cdot vecj)\]

Так как скалярное произведение одинаковых единичных векторов равно 1, получаем:

\[10 \cdot 1 + -11 \cdot 1 = -1\]

Ответ: произведение `(veca+2vecb)(3veca-vecb)` равно `-1`.