Дайте аналитическое определение функции f(x) = - x² + x + 2 и найдите аналитическое определение функций: y = f(x

Snezhinka

37

Конечно! Давайте начнем с аналитического определения функции \(f(x) = -x^2 + x + 2\).

1) Множество значений функции \(f(x)\):
Чтобы определить множество значений, нужно найти экстремумы функции \(f(x)\). Экстремумы могут быть минимумами или максимумами функции. У нас есть парабола с отрицательным коэффициентом при \(x^2\), поэтому это будет парабола, направленная вниз. Такая парабола имеет максимум.

Для нахождения координаты вершины (максимума) \(x_v, y_v\) параболы используем формулу \(x_v = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) - коэффициент при \(x^2\) (равный -1 в нашем случае), а \(b\) - коэффициент при \(x\) (равный 1 в нашем случае).
Таким образом, \(x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}\).
Для нахождения \(y_v\) мы подставим \(x_v\) в функцию \(f(x)\): \(y_v = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{4}\).
Итак, вершина (максимум) параболы - это точка \(\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)\).

Теперь, множество значений функции \(f(x)\) будет всеми значениями \(y\), которые меньше или равны \(y_v\). То есть, множество значений: \(y \leq \frac{5}{4}\).

2) Точка пересечения с осью ординат:
Чтобы найти точку пересечения с осью ординат, нужно найти значение функции при \(x = 0\). Подставляем \(x = 0\) в функцию \(f(x)\):
\(f(0) = -0^2 + 0 + 2 = 2\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат - это точка \((0, 2)\).

3) Нули функции:
Нулями функции \(f(x)\) называются значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). Для нахождения нулей, мы решаем уравнение \(f(x) = 0\):
\(-x^2 + x + 2 = 0\).
Мы можем попытаться решить это уравнение, используя факторизацию, если это возможно. Но в данном случае, это не сработает. Вместо этого, мы можем использовать квадратичную формулу:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения. В нашем случае, \(a = -1\), \(b = 1\) и \(c = 2\).
Подставляем значения и решаем:
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (-1) \cdot 2}}{2 \cdot (-1)}\).
Вычисляем:
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-2}\).
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-2}\).
\(x = \frac{-1 \pm 3}{-2}\).
Таким образом, получаем два значения \(x\): \(x_1 = \frac{2}{-2} = -1\) и \(x_2 = \frac{-4}{-2} = 2\).
Итак, нули функции \(f(x)\) - это значения \(x\), равные -1 и 2.

Далее, определим аналитические определения функций \(y = f(x + 2)\), \(y = f(x) - 3\) и \(y = 5 - f(x)\).

1) Множество значений функции \(y = f(x + 2)\):
Для определения множества значений функции \(y = f(x + 2)\), мы можем использовать тот же метод, что и в предыдущем случае. Заметим, что \(x + 2\) заменяет \(x\) в исходной функции \(f(x)\).
Поэтому вершина параболы, значения на оси ординат и нули останутся такими же, а только аргумент \(x\) будет сдвинут на 2 единицы влево.

2) Точка пересечения с осью ординат для функции \(y = f(x) - 3\):
Точка пересечения с осью ординат для функции \(y = f(x) - 3\) будет соответствовать значению функции при \(x = 0\) минус 3. Мы уже знаем, что функция \(f(x)\) при \(x = 0\) равна 2 (это точка пересечения с осью ординат для \(f(x)\)). Поэтому,
\(y = f(0) - 3\).
\(y = 2 - 3\).
\(y = -1\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат для функции \(y = f(x) - 3\) - это точка \((0, -1)\).

3) Нули функции \(y = 5 - f(x)\):
Чтобы найти нули функции \(y = 5 - f(x)\), мы должны решить уравнение \(5 - f(x) = 0\).
Подставляем значение функции \(f(x)\) из исходной функции \(f(x) = -x^2 + x + 2\):
\(5 - (-x^2 + x + 2) = 0\).
Перепишем уравнение:
\(x^2 - x - 3 = 0\).
Подобно предыдущему случаю, мы можем использовать квадратичную формулу или попытаться факторизовать уравнение. Здесь факторизация не будет работать, поэтому воспользуемся квадратичной формулой:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = -3\).
Подставляем значения и решаем:
\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\).
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}\).
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\).
Таким образом, получаем два значения \(x\): \(x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\) и \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\).
Итак, нули функции \(y = 5 - f(x)\) - это значения \(x\), которые равны \(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\) и \(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\).

Надеюсь, ответ полностью разъясняет вам аналитическое определение функции \(f(x) = -x^2 + x + 2\) и помогает найти аналитические определения функций \(y = f(x + 2)\), \(y = f(x) - 3\) и \(y = 5 - f(x)\). Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!