Детально решить уравнение lg(2x)+lg(x+3)=lg(12x-4

Муся

55

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас дано уравнение: \(\log_{10}(2x) + \log_{10}(x+3) = \log_{10}(12x-4)\)

Первым шагом, мы можем использовать свойство логарифма, которое говорит, что \(\log_{a}(b) + \log_{a}(c) = \log_{a}(bc)\). Используя это свойство, мы можем объединить два первых логарифма в уравнении.

Таким образом, уравнение примет вид: \(\log_{10}(2x(x+3)) = \log_{10}(12x-4)\)

Теперь мы знаем, что два логарифма равны только в том случае, если их аргументы равны. Поэтому, мы можем записать: \(2x(x+3) = 12x-4\)

Следующим шагом, раскроем скобки: \(2x^2 + 6x = 12x - 4\)

После этого, соберем все члены с \(x\) на одной стороне уравнения: \(2x^2 + 6x - 12x + 4 = 0\)

Далее, объединим подобные члены: \(2x^2 - 6x + 4 = 0\)

Теперь, чтобы решить квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) - дискриминант, \(a\) , \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Применим формулу дискриминанта к нашему уравнению. Коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) у нас равны 2, -6 и 4 соответственно.

Дискриминант \(D\) может быть вычислен по формуле: \(D = b^2 - 4ac\)

Подставим значения: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4\)

Теперь, найдем значения \(x\) при помощи формулы решения квадратного уравнения:

\(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2}{4}\)

Приведем в дроби: \(x = \frac{8}{4} = 2\) или \(x = \frac{4}{4} = 1\)

Итак, мы получили два корня уравнения: \(x = 1\) и \(x = 2\). Проверим эти значения, подставив их в исходное уравнение:

Для \(x = 1\): \(\log_{10}(2 \cdot 1) + \log_{10}(1+3) = \log_{10}(12 \cdot 1 - 4)\) <=> \(\log_{10}(2) + \log_{10}(4) = \log_{10}(8)\) <=> \(0.301 + 0.602 = 0.903\), что явно не верно.

Для \(x = 2\): \(\log_{10}(2 \cdot 2) + \log_{10}(2+3) = \log_{10}(12 \cdot 2 - 4)\) <=> \(\log_{10}(4) + \log_{10}(5) = \log_{10}(20)\) <=> \(0.602 + 0.699 = 1.301\), что верно.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \(x = 2\).