Диагонали прямоугольной трапеции abcd пересекаются под прямым углом. Длина короткого основания AB составляет 14

Galina

13

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольной трапеции.

1. Чтобы найти длину короткого основания BC, мы можем использовать свойство трапеции, согласно которому сумма длин оснований равна произведению высоты и средней линии. Поскольку прямые основания AD и BC перпендикулярны, то диагонали AC и BD можно рассматривать как высоту и среднюю линию соответственно. Тогда мы можем записать следующее:

(AB + CD) = AC * BD

Известно, что AB = 14 см и AD = 48 см. Давайте обозначим неизвестную длину BC как х. Тогда получим:

14 + CD = AC * BD

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то AC и BD являются высотами, а значит, их произведение равно площади прямоугольника ABCD.

AC * BD = S

Для получения площади прямоугольника нам известны длины оснований AB и AD. Площадь равна:

S = (AB + AD) * h / 2

Так как прямоугольная трапеция является частным случаем прямоугольника, то эту формулу можно применить к нашей задаче:

S = (AB + AD) * h / 2 = (14 + 48) * h / 2

S = 62h / 2 = 31h

Теперь мы можем записать уравнение через площадь:

14 + CD = 31h / h

14 + CD = 31

CD = 31 - 14
CD = 17 см

Таким образом, длина короткого основания BC равна 17 см.

2. Чтобы найти длины отрезков co и ao, которыми короткая диагональ AC делится в точке пересечения, мы можем использовать свойства пропорциональности треугольников. Очевидно, что треугольники ACO и BCO подобны.

Оставим величину AC неизвестной и обозначим ее как y. Тогда можно записать следующую пропорцию:

AC / AO = BC / BO

AC / (AC + y) = BC / (BC + 17)

Мы уже знаем значение BC, а также длину короткого основания AB (которая равна 14 см). Подставляем значения в уравнение и решаем:

AC / (AC + y) = 14 / 31

14(AC + y) = 31AC

14AC + 14y = 31AC

14y = 31AC - 14AC

14y = 17AC

Таким образом, мы получаем первое уравнение:

14y = 17AC

Далее, чтобы найти длину отрезка co, мы можем использовать свойства пропорциональности треугольников. Треугольники ACO и ADO также подобны. Тогда мы можем записать следующую пропорцию:

AC / CO = AD / DO

Заменяем значения и решаем уравнение:

AC / CO = 48 / 17

AC * CO = 48 * 17

CO = (48 * 17) / AC

Как уже было установлено, 14y = 17AC. Теперь мы можем подставить это значение в уравнение для CO:

CO = (48 * 17) / (14y / 17)

CO = (48 * 17 * 17) / (14y)

CO = 816 / (14y)

2я часть почти готова, нам остается только найти значения y и CO в условии задачи. Подставим значение AC и решим систему уравнений:

14y = 17AC

и

AC / 2 = y / CO

Тогда y = 17AC / 14

Подставляем это значение во 2е уравнение:

AC / 2 = (17AC / 14) / CO

AC / 2 = 17AC / (14CO)

AC = (2 * 17AC) / (14CO)

1 = (2 * 17) / (14CO)

14CO = 34

CO = 34 / 14

CO = 17 / 7

Таким образом, мы получаем ответы на задачу:

1. Длина короткого основания BC равна 17 см.
2. Короткая диагональ делится на отрезки CO = 17/7 см и AO = 17AC / 14 см. Длинная диагональ делится на отрезок BO = 48*17/14 см.