Сколько способов выбрать 3 учеников и 2 учителей из группы, состоящей из 28 учеников и 16 учителей, чтобы отправиться

Skolzkiy_Pingvin

40

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать комбинаторику. Мы должны выбрать 3 ученика из 28 и 2 учителя из 16. Давайте начнем с выбора 3 учеников из 28. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний, которая записывается как \(C(n, k)\), где \(n\) - количество объектов, из которых мы выбираем, а \(k\) - количество объектов, которое мы выбираем.

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем:

\[C(28, 3) = \frac{{28!}}{{3! \cdot (28-3)!}}\]

Раскрывая факториалы, мы получаем:

\[C(28, 3) = \frac{{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 25!}}\]

Заметим, что факториалы 25! сокращаются исходя из числителя и знаменателя, и остается:

\[C(28, 3) = \frac{{28 \cdot 27 \cdot 26}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Вычислив это, мы получаем:

\[C(28, 3) = \frac{{21840}}{{6}} = 3640\]

Теперь рассмотрим выбор 2 учителей из 16. Применяя ту же формулу, мы получаем:

\[C(16, 2) = \frac{{16!}}{{2! \cdot (16-2)!}} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}}{{2 \cdot 1 \cdot 13!}} = \frac{{16 \cdot 15}}{{2 \cdot 1}} = 120\]

Наконец, чтобы найти общее количество способов выбора 3 учеников и 2 учителей, мы умножаем количество способов выбрать учеников на количество способов выбрать учителей:

\[3640 \cdot 120 = 436800\]

Таким образом, существует 436800 способов выбрать 3 учеников и 2 учителей из данной группы для поездки в Германию.