Диск вращается вокруг своего центра масс. Функция, описывающая зависимость угла поворота от времени, задана как φ

Valentinovich

6

а) Чтобы найти угловой путь, пройденный диском к моменту времени t1 = 2, мы можем использовать формулу для углового пути:

\[S = \int_{0}^{t1}\phi(t)dt\]

где S - угловой путь, \(\phi(t)\) - функция, описывающая зависимость угла поворота от времени, t1 - момент времени, для которого мы хотим найти угловой путь.

Вычислим интеграл:

\[S = \int_{0}^{2}(4 + 3t + 2t^2 - t^3)dt\]

\[S = \left[4t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{2}{3}t^3 - \frac{1}{4}t^4\right]_0^2\]

\[S = (4\cdot2 + \frac{3}{2}\cdot2^2 + \frac{2}{3}\cdot2^3 - \frac{1}{4}\cdot2^4) - (4\cdot0 + \frac{3}{2}\cdot0^2 + \frac{2}{3}\cdot0^3 - \frac{1}{4}\cdot0^4)\]

\[S = (8 + 6 + \frac{16}{3} - 4) - 0 = \frac{38}{3}\]

Таким образом, угловой путь, пройденный к моменту времени t1 = 2, равен \(\frac{38}{3}\) радиан.

б) Для вычисления угловой скорости диска нам нужно найти первую производную функции угла поворота по времени:

\[\omega = \frac{d\phi}{dt}\]

Производная функции \(\phi(t)\) равна:

\[\omega = \frac{d(4 + 3t + 2t^2 - t^3)}{dt}\]

\[\omega = \frac{d(4)}{dt} + \frac{d(3t)}{dt} + \frac{d(2t^2)}{dt} - \frac{d(t^3)}{dt}\]

Поскольку производная постоянной равна нулю, мы можем упростить выражение:

\[\omega = 0 + 3 + 4t - 3t^2\]

Таким образом, угловая скорость диска в момент времени t1 = 2 равна \(\omega = 3 + 4\cdot2 - 3\cdot2^2 = -1\) рад/с.

в) Для вычисления углового ускорения диска нам нужно найти вторую производную функции угла поворота по времени:

\[\alpha = \frac{d^2\phi}{dt^2}\]

Возьмем производную ранее найденной функции \(\omega\) по времени:

\[\alpha = \frac{d(3 + 4t - 3t^2)}{dt}\]

\[\alpha = \frac{d(3)}{dt} + \frac{d(4t)}{dt} - \frac{d(3t^2)}{dt}\]

\[\alpha = 0 + 4 - 6t\]

Таким образом, угловое ускорение диска в момент времени t1 = 2 равно \(\alpha = 4 - 6\cdot2 = -8\) рад/с².

г) Чтобы найти полное линейное ускорение для точки, находящейся на расстоянии 0,5 м от оси вращения, в момент времени, когда линейная скорость этой точки составляет \(v\) м/с, нам понадобятся следующие формулы:

\[v = r\omega\]
\[a = r\alpha\]

где v - линейная скорость точки, a - линейное ускорение точки, r - расстояние от точки до оси вращения, \(\omega\) - угловая скорость, \(\alpha\) - угловое ускорение.

Мы знаем, что v = 0,5 м/с, и мы уже нашли значение угловой скорости \(\omega\), которое равно -1 рад/с.

Таким образом, угловая скорость можно выразить через линейную скорость и расстояние:

\[\omega = \frac{v}{r}\]

Решим это уравнение относительно r, чтобы найти расстояние:

\[r = \frac{v}{\omega} = \frac{0,5}{-1} = -0,5 \text{ м}\]

Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем найти угловое ускорение через уравнение:

\[a = r\alpha\]

Подставим известные значения:

\[a = -0,5 \cdot -8 = 4 \text{ м/с²}\]

Таким образом, полное линейное ускорение для точки, находящейся на расстоянии 0,5 м от оси вращения, в момент времени t1 = 2, когда линейная скорость этой точки составляет 0,5 м/с, равно 4 м/с².