На склоне, угол которого с горизонтом составляет 30°, брусок начинает двигаться вверх со скользящим движением

Зимний_Сон

67

Для решения данной задачи, мы можем использовать первый закон Ньютона, который гласит, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Учтем, что сила трения является противоположной по направлению силе веса, и ее модуль определяется как произведение коэффициента трения на нормальную реакцию.

Из рисунка видно, что сила трения направлена вниз по склону и равна $f_{\text{тр}}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }$, где $\mu$ - коэффициент трения, $m$ - масса бруска, $g$ - ускорение свободного падения, $\cos {30}^{\circ }$ - проекция веса на склон.

При движении вверх бруска, сумма всех сил равна $f_{\text{тр}}-m\cdot g\cdot \sin {30}^{\circ }$, где $\sin {30}^{\circ }$ - проекция веса на склон в сторону движения.

Подставляя значения силы трения и силы веса в эти выражения, получим:
$f_{\text{тр}}-m\cdot g\cdot \sin {30}^{\circ }=m\cdot a$, где $a$ - ускорение бруска при движении вверх.

Аналогично, при движении вниз бруска, сумма всех сил равна $m\cdot g\cdot \sin {30}^{\circ }+f_{\text{тр}}=m\cdot a"$, где $a"$ - ускорение бруска при движении вниз.

Так как ускорение бруска вверх и вниз являются противоположными по направлению, то их модули будут равны. Поэтому выполняется равенство $a=a"$.

Теперь решим данную систему уравнений. Подставим выражение для силы трения и силы веса:
$\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }-m\cdot g\cdot \sin {30}^{\circ }=m\cdot a$ (1)
$m\cdot g\cdot \sin {30}^{\circ }+\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }=m\cdot a"$ (2)

Решим уравнение (1) относительно $a$:
$\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }-g\cdot \sin {30}^{\circ }=a$ (3)

Теперь решим уравнение (2) относительно $a"$:
$g\cdot \sin {30}^{\circ }+\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }=a"$ (4)

Из равенства $a=a"$ получим:
$\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }-g\cdot \sin {30}^{\circ }=g\cdot \sin {30}^{\circ }+\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }$

Упрощаем это уравнение и получаем:
$\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }-g\cdot \sin {30}^{\circ }=2\cdot g\cdot \sin {30}^{\circ }$

Раскроем тригонометрические функции и упростим выражение:
$\mu \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{g}{2}=g\cdot \frac{1}{2}$

Упростим уравнение дальше:
$\frac{\mu \cdot \sqrt{3}}{2}-\frac{g}{2}=\frac{g}{2}$

Перенесем все слагаемые, содержащие $g$, влево, а все слагаемые, содержащие $\mu$, вправо:
$\frac{\mu \cdot \sqrt{3}}{2}=g$

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 2:
$\mu \cdot \sqrt{3}=2g$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$\mu =\frac{2g}{\sqrt{3}}$

Теперь, зная значение коэффициента трения $\mu =0.35$ и ускорения свободного падения $g\approx 9.8{\text{м/с}}^2$, можем найти отношение времени $t_1$ к времени $t_2$:
$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{a}{a"}}$

Подставим значения ускорения $a=\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }-g\cdot \sin {30}^{\circ }$ и $a"=g\cdot \sin {30}^{\circ }+\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }$ в формулу:
$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }-g\cdot \sin {30}^{\circ }}{g\cdot \sin {30}^{\circ }+\mu \cdot g\cdot \cos {30}^{\circ }}}$

Подставим известные значения и вычислим итоговый результат.