Для 9-го класса геометрии, решите следующие задачи. Первую задачу я уже решил, и остались

Morozhenoe_Vampir

69

очень благодарен за Вашу помощь.
1. Задача: В треугольнике ABC проведены медиана BM и биссектриса BN. Докажите, что угол BMN равен углу BAC.

Решение:
Для начала, давайте вспомним определения медианы и биссектрисы.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол треугольника на две равные части.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC и построим медиану BM и биссектрису BN.

\[AB = AC \Rightarrow \angle B = \angle C \quad (1)\]

\[BM - \text{медиана} \Rightarrow AM = MC \quad (2)\]

\[BN - \text{биссектриса} \Rightarrow \angle MBN = \angle NBM \quad (3)\]

Теперь проведем прямую LN, параллельную BC и пересекающую AM в точке L. Так как MN - медиана, то она делит сторону BC пополам, а значит, LN = LC.

Теперь рассмотрим треугольники LNB и CNM.

\[LN = LC \quad \text{(так как LN - параллельна BC)}\]

\[BN = CN \quad \text{(так как BN - биссектриса)}\]

\[NM = NM \quad \text{(общая сторона)}\]

Согласно принципу равенства треугольников, треугольники LNB и CNM равны.

\[NLB = NCM \quad (4)\]

Теперь рассмотрим треугольники MBN и BAC.

\[MB = MB \quad \text{(общая сторона)}\]

\[BN = BA \quad \text{(так как BN - биссектриса)}\]

\[\angle NMB = \angle BAC \quad (1, 3)\]

Согласно принципу равенства треугольников, треугольники MBN и BAC равны.

\[BNA = BAC \quad (2, 4)\]

Таким образом, угол BMN равен углу BAC.

Надеюсь, это решение помогло вам полностью осознать данную задачу и способ ее решения. Если остались еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь.