Докажите, что четырехугольник abcd - параллелограмм, если углы

Рак

61

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, мы будем использовать свойства параллелограмма и доказательство по определению.

Первое свойство параллелограмма гласит, что противоположные стороны параллельны. То есть, чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нам нужно доказать, что сторона AB || CD и сторона AD || BC.

Давайте начнём с доказательства AB || CD. Мы можем воспользоваться свойством параллельности двух прямых, которое гласит: если две прямые пересекаются с третьей под одинаковым углом, то эти две прямые параллельны. В данном случае, это означает, что если угол BAD равен углу CDA, то AB || CD. Давайте обратимся к доказательству этого факта:

[Вставьте изображение с четырёхугольником ABCD, где показаны углы BAD и CDA]

У нас есть две пары вертикально противоположных углов в четырёхугольнике ABCD: углы BAD и CDA, а также углы ABC и CDA. Так как вертикально противоположные углы равны, мы можем записать следующее:

угол BAD = угол CDA ............... (1)
угол ABC = угол CDA ............... (2)

Поэтому у нас есть два угла, у которых значения равны. Это делает эти две прямые, AB и CD, пересекающими третью прямую AD под одинаковым углом CDA. Следовательно, по свойству параллельности, AB || CD.

Теперь докажем, что AD || BC. Мы можем использовать ту же самую логику, что и для предыдущего доказательства. В данном случае, чтобы доказать параллельность сторон AD и BC, нам нужно доказать, что угол BCD равен углу DAB. Давайте применим то же самое рассуждение:

[Вставьте изображение с четырёхугольником ABCD, где показаны углы BCD и DAB]

Мы можем заметить, что углы BCD и DAB являются вертикально противоположными, так как они лежат в прямых углах BC и AD соответственно. Поэтому мы можем записать:

угол BCD = угол DAB ............... (3)

Таким образом, у нас есть два угла, у которых значения равны. Это делает эти две прямые, AD и BC, пересекающими третью прямую AB под одинаковым углом DAB. Следовательно, по определению, AD || BC.

Таким образом, мы доказали, что сторона AB || CD и сторона AD || BC. В сочетании с другими свойствами параллелограмма (например, противоположные стороны равны), это доказывает, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.