Для автоматов существует 8 типов жетонов, которые позволяют играть в течение 1, 2, 3, 6, 10, 20, 30 и 60 минут. Петя

Solnechnyy_Den

5

Для начала, разберемся более подробно в условии задачи.

У нас есть 8 типов жетонов, каждый из которых позволяет играть определенное количество времени: 1, 2, 3, 6, 10, 20, 30 и 60 минут.
Петя приобрел X жетонов и провел в игре Y минут.

Нашей задачей является доказать, что существует способ приобрести Y жетонов таким образом, чтобы они позволяли точно сыграть X часов.

Давайте рассмотрим все возможные варианты комбинаций жетонов, которые позволят нам провести игру X часов:

1) Если X = 0, то нам не нужно иметь никаких жетонов, и мы можем провести игру любое количество времени (в том числе и Y минут).

2) Если X > 0, то мы можем использовать жетоны продолжительностью 60 минут для того, чтобы получить X часов. Для этого нужно использовать X таких жетонов.

3) Используем жетоны продолжительностью 30 минут. Если X кратно 30, то мы можем использовать X / 30 таких жетонов для достижения X часов. Иначе, мы можем использовать (X // 30) таких жетонов для достижения (X // 30) часов и оставшиеся (X % 30) минут покрыть с помощью других типов жетонов.

4) Используем жетоны продолжительностью 20 минут. Аналогично предыдущему пункту, если X кратно 20, то мы можем использовать X / 20 таких жетонов для достижения X часов. Иначе, мы можем использовать (X // 20) таких жетонов для достижения (X // 20) часов и оставшиеся (X % 20) минут покрыть с помощью других типов жетонов.

5) Используем жетоны продолжительностью 10 минут. Аналогично предыдущим шагам, проверяем, кратно ли X 10. Если да, то мы можем использовать X / 10 таких жетонов для достижения X часов. Иначе, мы можем использовать (X // 10) таких жетонов для достижения (X // 10) часов и оставшиеся (X % 10) минут покрыть с помощью других типов жетонов.

6) Используем жетоны продолжительностью 6 минут. Аналогично предыдущим шагам, проверяем, кратно ли X 6. Если да, то мы можем использовать X / 6 таких жетонов для достижения X часов. Иначе, мы можем использовать (X // 6) таких жетонов для достижения (X // 6) часов и оставшиеся (X % 6) минут покрыть с помощью других типов жетонов.

7) Используем жетоны продолжительностью 3 минуты. Аналогично предыдущим шагам, проверяем, кратно ли X 3. Если да, то мы можем использовать X / 3 таких жетонов для достижения X часов. Иначе, мы можем использовать (X // 3) таких жетонов для достижения (X // 3) часов и оставшиеся (X % 3) минуты покрыть с помощью других типов жетонов.

8) Используем жетоны продолжительностью 2 минуты. Аналогично предыдущим шагам, проверяем, кратно ли X 2. Если да, то мы можем использовать X / 2 таких жетонов для достижения X часов. Иначе, мы можем использовать (X // 2) таких жетонов для достижения (X // 2) часов и оставшиеся (X % 2) минуты покрыть с помощью других типов жетонов.

9) Используем жетоны продолжительностью 1 минуту. Аналогично предыдущим шагам, мы можем использовать X таких жетонов для достижения X часов.

Теперь, когда мы рассмотрели все возможные варианты, давайте докажем, что можно приобрести Y жетонов таким образом, чтобы они позволяли точно сыграть X часов.

Обозначим остаток от деления Y на 60 как \(r_1\). Обозначим остаток от деления \(r_1\) на 30 как \(r_2\). Таким образом, остаток от деления \(r_2\) на 20 обозначим как \(r_3\), а остаток от деления \(r_3\) на 10 обозначим как \(r_4\). Последующие остатки от деления обозначим \(r_5\), \(r_6\), \(r_7\) и \(r_8\).

Теперь рассмотрим все возможные значения остатков \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), \(r_4\), \(r_5\), \(r_6\), \(r_7\) и \(r_8\).

1) Если все остатки равны нулю (т.е. \(r_1 = r_2 = r_3 = r_4 = r_5 = r_6 = r_7 = r_8 = 0\)), то мы можем использовать соответствующее количество жетонов каждого типа для достижения X часов.

2) Если хотя бы один из остатков от деления не равен нулю, то мы можем использовать соответствующее количество жетонов каждого типа для достижения (X - \(r_8\) - \(r_7\) - \(r_6\) - \(r_5\) - \(r_4\) - \(r_3\) - \(r_2\) - \(r_1\)) часов. Таким образом, мы можем покрыть оставшиеся остатки каждого типа жетонов.

Таким образом, мы доказали, что можно приобрести Y жетонов таким образом, чтобы они позволяли точно сыграть X часов.