Каково максимальное значение функции f(x)=3x(5)-20x(3)-13 на интервале [-6;1]?

Yaschik

62

Для нахождения максимального значения функции \(f(x) = 3x^5 - 20x^3 - 13\) на интервале \([-6;1]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(f"(x)\), чтобы найти точки экстремума (максимума и минимума).
2. Решим уравнение \(f"(x) = 0\) для определения критических точек.
3. Определим, какие из критических точек являются максимумами, и проверим значения функции в этих точках.
4. Найдем значения функции на концах интервала \([-6;1]\).
5. Сравним все значения и определим наибольшее.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f"(x)\).
\[f"(x) = 15x^4 - 60x^2\]

Шаг 2: Решим уравнение \(f"(x) = 0\) для определения критических точек.
\[15x^4 - 60x^2 = 0\]
\[15x^2(x^2 - 4) = 0\]
\[x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm 2\]

Таким образом, у нас есть три критических точки: \(x = 0\), \(x = -2\) и \(x = 2\).

Шаг 3: Определим, какие из критических точек являются максимумами, и проверим значения функции в этих точках.
Для этого вычислим значения функции в критических точках и сравним их.

Для \(x = 0\):
\[f(0) = 3(0)^5 - 20(0)^3 - 13 = -13\]

Для \(x = -2\):
\[f(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 - 13 = -208\]

Для \(x = 2\):
\[f(2) = 3(2)^5 - 20(2)^3 - 13 = 235\]

Из этих значений видно, что функция \(f(x)\) достигает максимального значения равного 235 в точке \(x = 2\).

Шаг 4: Найдем значения функции на концах интервала \([-6;1]\).
Для этого подставим \(x = -6\) и \(x = 1\) в функцию \(f(x)\).

Для \(x = -6\):
\[f(-6) = 3(-6)^5 - 20(-6)^3 - 13 = 2311\]

Для \(x = 1\):
\[f(1) = 3(1)^5 - 20(1)^3 - 13 = -30\]

Шаг 5: Сравним все значения и определим наибольшее.
Наибольшее значение функции \(f(x)\) на интервале \([-6;1]\) равно 2311, которое достигается при \(x = -6\).

Таким образом, максимальное значение функции \(f(x) = 3x^5 - 20x^3 - 13\) на интервале \([-6;1]\) равно 2311 и достигается при \(x = -6\).