Для каких (m, n) натуральных чисел верно, что m в квадрате равно nk+2, где k=ин?

Elizaveta

46

Данная задача предлагает найти все натуральные числа (m, n), для которых выполняется равенство \(m^2 = nk + 2\), где \(k\) - это некоторое натуральное число.

Для начала, рассмотрим какие-то конкретные примеры и посмотрим, как эти числа связаны. Пусть \(m = 1\) и \(n = 1\):

\[1^2 = 1 \cdot k + 2\]
\[1 = k + 2\]
\[k = -1\]

Получается, что равенство не выполняется, так как \(k\) должно быть натуральным числом. Попробуем другие значения \(m\) и \(n\):

Пусть \(m = 2\) и \(n = 1\):

\[2^2 = 1 \cdot k + 2\]
\[4 = k + 2\]
\[k = 2\]

В этом случае равенство выполняется, так как \(k = 2\) является натуральным числом.

Попробуем еще один пример, пусть \(m = 3\) и \(n = 2\):

\[3^2 = 2 \cdot k + 2\]
\[9 = 2 \cdot k + 2\]
\[7 = 2 \cdot k\]

Здесь равенство не выполняется, так как \(7\) не делится на \(2\).

Из этих примеров можно сделать предположение о том, что для всех значений \(n\), которые являются четными числами, существует некоторое натуральное число \(m\), такое что равенство выполняется. В то же время, для всех нечетных значений \(n\), равенство не будет выполняться.

Для более формального доказательства данного предположения, возьмем произвольные натуральные числа \(m\) и \(n\). Подставим их в исходное уравнение:

\[m^2 = nk + 2\]

Если мы заменим \(n\) на \(2a\) (где \(a\) - произвольное натуральное число), получим:

\[m^2 = 2ak + 2\]

Теперь мы можем выразить \(m\) в виде \(m = 2c + r\), где \(c\) и \(r\) - произвольные целые числа, а \(0 \leq r < 2\). Подставим это в уравнение:

\[(2c + r)^2 = 2ak + 2\]

Раскроем скобки:

\[4c^2 + 4cr + r^2 = 2ak + 2\]

Упростим:

\[2r^2 + (4c - 2a)k = 2\]

Так как \(r\) может быть равно только \(0\) или \(1\), то левая часть равенства может принимать только значения 0, 1 или 2. Однако, правая часть равна 2, что ограничивает возможные значения \(r\):

1) Если \(r = 0\), то левая часть становится \(2 \cdot 0^2\), что равно 0. Но правая часть равна 2, что противоречит условию. Следовательно, \(r\) не может быть равно 0.

2) Если \(r = 1\), то левая часть становится \(2 \cdot 1^2\), что равно 2. Правая часть также равна 2, что удовлетворяет условию.

Таким образом, мы доказали, что для всех значений \(n\), являющихся четными числами, существует некоторое натуральное число \(m\), для которого выполняется указанное равенство. В то же время, для всех нечетных значений \(n\), равенство не выполняется.

Таким образом, ответ на задачу: для (m, n) натуральных чисел, равенство \(m^2 = nk + 2\) будет выполняться для всех значений \(n\), являющихся четными числами.