Какое наибольшее значение принимает функция y=2x+50/x+15 на интервале [-10; -0,5]? Пожалуйста, решите задачу

Татьяна

17

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть функция \(y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\) и нам нужно найти ее наибольшее значение на интервале \([-10; -0.5]\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции \(f(x) = \frac{{a(x)}}{{b(x)}}\), которое гласит: \[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{a(x)}}{{b(x)}}\right) = \frac{{a"(x)b(x) - a(x)b"(x)}}{{\left(b(x)\right)^2}}\]

Для нашей функции \(y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\) заметим, что \(a(x) = 2x + 50\) и \(b(x) = x + 15\). Тогда:

\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\right) = \frac{{(2)(x + 15) - (2x + 50)(1)}}{{\left(x + 15\right)^2}}\]

Упрощая, получаем:

\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\right) = \frac{{2x + 30 - 2x - 50}}{{\left(x + 15\right)^2}} = \frac{{-20}}{{\left(x + 15\right)^2}}\]

Шаг 2: Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

\[\frac{{-20}}{{\left(x + 15\right)^2}} = 0\]

Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен нулю, а знаменатель не может быть равен нулю.

Шаг 3: Изучим поведение функции на границах интервала \([-10; -0.5]\). Подставим эти значения в исходную функцию \(y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\) и найдем соответствующие значения \(y\):

При \(x = -10\), \(y = \frac{{2(-10) + 50}}{{-10 + 15}} = \frac{{-20 + 50}}{{5}} = \frac{{30}}{{5}} = 6\)

При \(x = -0.5\), \(y = \frac{{2(-0.5) + 50}}{{-0.5 + 15}} = \frac{{-1 + 50}}{{14.5}} \approx 3.3103\)

Шаг 4: Найдем значение функции в точках экстремума. Но, в данной задаче, у нас нет точек экстремума, так как функция не имеет точек минимума или максимума на заданном интервале.

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\) на интервале \([-10; -0.5]\) равно 6.