Для какого наибольшего значения k можно гарантировать, что после удаления k чисел из натуральных чисел от 1 до 5000

Ekaterina

65

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале просуммируем все натуральные числа от 1 до 5000. Формула для суммы чисел от 1 до n выглядит следующим образом: \(\frac{{n \cdot (n+1)}}{2}\).

Применяя эту формулу к диапазону от 1 до 5000, получаем сумму:
\[S = \frac{{5000 \cdot (5000+1)}}{2} = 12502500.\]

Мы знаем, что число 31 является суммой 30 остальных чисел, значит, сумма этих 30 чисел равна \(S - 31\).

Теперь мы можем изначально допустить, что все числа от 1 до 5000 кроме 31 будут удалены. Тогда, чтобы найти максимальное значение \(k\), мы должны убрать оставшиеся \(30\) чисел таким образом, чтобы сумма \(30\) оставшихся чисел была равной \(S - 31\).

Получается, что максимальное значение \(k\) можно найти, изменив сумму \(30\) оставшихся чисел \(S - 31\) таким образом, чтобы она стала меньше или равной \(31\).

Подставив значения, имеем:
\[12502500 - 31 = 12502469\]

Таким образом, если сумма \(30\) оставшихся чисел будет больше \(12502469\), то после удаления \(k\) чисел из натуральных чисел от 1 до 5000 останется число \(31\), которое является суммой \(30\) оставшихся чисел.

Следовательно, максимальное значение \(k\) равно \(12502468\).