Для какого значения t дробь t+14/t+5 будет являться натуральным числом? Для какого значения t дробь t+21/t+5 будет

Маня

11

Для решения первой задачи, мы должны найти значения \( t \), при которых выражение \( \frac{t+14}{t+5} \) будет являться натуральным числом.

Чтобы дробь была натуральным числом, числитель должен делиться без остатка на знаменатель. Исходя из этого, наша задача - найти такие значения \( t \), при которых \( t + 14 \) будет делиться без остатка на \( t + 5 \).

Решим это уравнение:

\[ \frac{t+14}{t+5} = n \]

Где \( n \) - это натуральное число. Домножим оба выражения на \( t + 5 \):

\[ t + 14 = n(t + 5) \]

Раскроем скобки:

\[ t + 14 = nt + 5n \]

Перенесем все переменные на одну сторону:

\[ nt - t = 14 - 5n \]

\[ (n -1)t = 14 - 5n \]

Так как мы ищем значения \( t \), то нужно избавиться от \( (n - 1) \), а для этого предположим, что \( n \) является ненулевым значением (иначе уравнение превратится в тождество). Разделим обе части уравнения на \( (n - 1) \) (при \( n \neq 1 \)):

\[ t = \frac{14 - 5n}{n - 1} \]

Теперь мы можем приступить к проверке различных значений \( n \) и найти соответствующие значения \( t \). Если мы не ограничиваем \( n \) дополнительными условиями, получим бесконечное количество решений для \( t \).

Примечание: При \( n = 1 \) знаменатель становится равным нулю, что недопустимо. Поэтому значение \( t \) не может быть определено при \( n = 1 \).

Аналогично решим вторую задачу, заменив 14 на 21 и 5 на 5.