Для какой функции F(x)=4x^5+2 можно найти первообразную?

Магнитный_Магнат

25

Конечно, я могу помочь с этой задачей. Чтобы найти первообразную для функции \(F(x) = 4x^5 + 2\), мы будем использовать правило дифференцирования в обратном порядке, известное как правило интегрирования.

Шаг 1: Найдем первообразную для \(4x^5\).
Применим правило интегрирования для монома \(x^n\), где \(n\) - это степень переменной, а именно, увеличиваем степень на 1 и делим на новую степень. Для нашей функции \(4x^5\) степень равна 5, поэтому:
\[\int 4x^5 \,dx = \frac{4}{6}x^6 = \frac{2}{3}x^6 + C_1,\]
где \(C_1\) - это произвольная постоянная.

Шаг 2: Найдем первообразную для константы 2.
Правило интегрирования гласит, что интеграл для константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования:
\[\int 2 \,dx = 2x + C_2,\]
где \(C_2\) - это еще одна произвольная постоянная.

Шаг 3: Соберем все вместе и найдем окончательную первообразную для \(F(x)\).
Так как интеграл является линейным оператором, мы можем объединить найденные первообразные для \(4x^5\) и 2:
\[\int F(x) \,dx = \frac{2}{3}x^6 + 2x + C,\]
где \(C = C_1 + C_2\) - это окончательная произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная для функции \(F(x) = 4x^5 + 2\) равна \(\frac{2}{3}x^6 + 2x + C\). Пожалуйста, обратите внимание, что итоговое решение содержит произвольную постоянную \(C\), которая может принимать любое значение.