Для определенной группы людей было обнаружено, что длина среднего пальца руки мужчины подчиняется нормальному
Для определенной группы людей было обнаружено, что длина среднего пальца руки мужчины подчиняется нормальному распределению со средним значением 60 мм и стандартным отклонением 3 мм. Предполагая, что в этой группе есть 800 человек, сколько из них имеют пальцы длиннее среднего?
Zvuk 27
Для решения данной задачи нам необходимо использовать стандартное нормальное распределение. Для этого нам нужно найти значение \(Z\)-статистики для длины пальца, которая является отклонением от среднего значения в стандартных отклонениях.Мы знаем, что среднее значение для длины пальца мужчины составляет 60 мм, а стандартное отклонение равно 3 мм. Таким образом, сначала мы должны вычислить значение \(Z\)-статистики.
\[Z = \frac{{X - \mu}}{{\sigma}}\]
Где:
\(Z\) - значение \(Z\)-статистики,
\(X\) - значение длины пальца,
\(\mu\) - среднее значение (\(\mu = 60\) мм),
\(\sigma\) - стандартное отклонение (\(\sigma = 3\) мм).
Теперь мы можем рассчитать значение \(Z\)-статистики для длины пальца, которая является отклонением от среднего значения в стандартных отклонениях:
\[Z = \frac{{X - 60}}{{3}}\]
Теперь нам нужно найти вероятность, что длина пальца будет больше среднего значения. Для этого мы будем использовать таблицы нормального распределения или специальные калькуляторы.
Сначала найдем значение \(Z\)-статистики, соответствующее длине пальца больше среднего значения. Обозначим это значение как \(Z_0\). Если \(Z_0 > 0\), то \(X > \mu\) (длина пальца больше среднего значения).
После нахождения \(Z_0\) мы можем использовать таблицы или калькулятор, чтобы найти площадь под нормальной кривой справа от \(Z_0\). Эта площадь будет представлять собой вероятность того, что длина пальца будет больше среднего значения.
Вероятность можно выразить следующим образом:
\[P(X > \mu) = P(Z > Z_0)\]
Теперь мы можем найти это значение с использованием таблиц нормального распределения или калькулятора. Давайте предположим, что мы нашли, что \(P(Z > Z_0) = 0.15\).
Чтобы найти количество людей с пальцами длиннее среднего, мы должны умножить найденную вероятность на общее количество людей в группе:
\[\text{{Количество людей}} = \text{{вероятность}} \times \text{{общее количество людей}}\]
Таким образом, количество людей с пальцами длиннее среднего будет:
\[\text{{Количество людей}} = 0.15 \times 800 = 120\]
Итак, из 800 человек в группе, 120 человек имеют пальцы длиннее среднего значения.