Для схемы, изображенной на рисунке, необходимо составить математическую модель и записать матрицы A, B и C при заданных

Sergey

12

Хорошо, давайте начнем с составления математической модели для данной схемы.

а) Схема состоит из двух параллельно соединенных резисторов R1 и R2, а также двух последовательно соединенных конденсаторов C1 и C2. Чтобы записать математическую модель, нам необходимо воспользоваться уравнениями, описывающими заряд и напряжение на резисторах и конденсаторах.

Для резистора у нас есть следующее соотношение:
$$V_R=I_R\cdot R$$
где $V_R$ - напряжение на резисторе, $I_R$ - ток через резистор, $R$ - сопротивление резистора.

Для конденсатора у нас есть соотношение:
$$I_C=C\cdot \frac{d{V}_C}{dt}$$
где $I_C$ - ток через конденсатор, $C$ - емкость конденсатора, $V_C$ - напряжение на конденсаторе, $\frac{d{V}_C}{dt}$ - производная напряжения по времени.

Применяя эти уравнения к нашей схеме, получаем следующие соотношения:

Для резистора R1:
$$V_{R1}=I_{R1}\cdot R1$$

Для резистора R2:
$$V_{R2}=I_{R2}\cdot R2$$

Для конденсатора C1:
$$I_{C1}=C1\cdot \frac{d{V}_{C1}}{dt}$$

Для конденсатора C2:
$$I_{C2}=C2\cdot \frac{d{V}_{C2}}{dt}$$

б) Теперь, чтобы изобразить структурную схему, соответствующую полученной математической модели, нам нужно связать элементы схемы с уравнениями их работы.

Для этого можно использовать блок-схемы, где резисторы изображаются как прямоугольники, а конденсаторы - как линии, с указанием их емкостей. Давайте представим каждый элемент схемы и его соответствующее уравнение:

R1 соответствует уравнению $V_{R1}=I_{R1}\cdot R1$
R2 соответствует уравнению $V_{R2}=I_{R2}\cdot R2$
C1 соответствует уравнению $I_{C1}=C1\cdot \frac{d{V}_{C1}}{dt}$
C2 соответствует уравнению $I_{C2}=C2\cdot \frac{d{V}_{C2}}{dt}$

т) Чтобы записать передаточную функцию, соответствующую данной математической модели, нужно учесть, что передаточная функция определяет отношение между входным и выходным сигналом в системе.

Так как входным сигналом является напряжение на конденсаторе C1, то передаточная функция будет отношением выходного напряжения на конденсаторе C2 к входному напряжению на конденсаторе C1.

Мы знаем, что ток через конденсатор C1 равен $I_{C1}=C1\cdot \frac{d{V}_{C1}}{dt}$, а ток через конденсатор C2 равен $I_{C2}=C2\cdot \frac{d{V}_{C2}}{dt}$. Также мы знаем, что сумма токов через оба конденсатора равна нулю, так как они соединены параллельно: $I_{C1}+I_{C2}=0$.

Следовательно, мы можем записать передаточную функцию G(s) как:

$$G(s)=\frac{V_{C2}(s)}{V_{C1}(s)}=\frac{I_{C2}(s)}{I_{C1}(s)}=\frac{C2}{C1}$$

где $V_{C2}(s)$ и $V_{C1}(s)$ - преобразования Лапласа выходного и входного напряжений на конденсаторах соответственно.

Таким образом, передаточная функция равна $G(s)=\frac{C2}{C1}$