Для схемы, изображенной на рисунке, необходимо составить математическую модель и записать матрицы A, B и C при заданных

Sergey

12

Хорошо, давайте начнем с составления математической модели для данной схемы.

а) Схема состоит из двух параллельно соединенных резисторов R1 и R2, а также двух последовательно соединенных конденсаторов C1 и C2. Чтобы записать математическую модель, нам необходимо воспользоваться уравнениями, описывающими заряд и напряжение на резисторах и конденсаторах.

Для резистора у нас есть следующее соотношение:
\[ V_R = I_R \cdot R \]
где \( V_R \) - напряжение на резисторе, \( I_R \) - ток через резистор, \( R \) - сопротивление резистора.

Для конденсатора у нас есть соотношение:
\[ I_C = C \cdot \frac{{dV_C}}{{dt}} \]
где \( I_C \) - ток через конденсатор, \( C \) - емкость конденсатора, \( V_C \) - напряжение на конденсаторе, \( \frac{{dV_C}}{{dt}} \) - производная напряжения по времени.

Применяя эти уравнения к нашей схеме, получаем следующие соотношения:

Для резистора R1:
\[ V_{R1} = I_{R1} \cdot R1 \]

Для резистора R2:
\[ V_{R2} = I_{R2} \cdot R2 \]

Для конденсатора C1:
\[ I_{C1} = C1 \cdot \frac{{dV_{C1}}}{{dt}} \]

Для конденсатора C2:
\[ I_{C2} = C2 \cdot \frac{{dV_{C2}}}{{dt}} \]

б) Теперь, чтобы изобразить структурную схему, соответствующую полученной математической модели, нам нужно связать элементы схемы с уравнениями их работы.

Для этого можно использовать блок-схемы, где резисторы изображаются как прямоугольники, а конденсаторы - как линии, с указанием их емкостей. Давайте представим каждый элемент схемы и его соответствующее уравнение:

R1 соответствует уравнению \(V_{R1} = I_{R1} \cdot R1\)
R2 соответствует уравнению \(V_{R2} = I_{R2} \cdot R2\)
C1 соответствует уравнению \(I_{C1} = C1 \cdot \frac{{dV_{C1}}}{{dt}}\)
C2 соответствует уравнению \(I_{C2} = C2 \cdot \frac{{dV_{C2}}}{{dt}}\)

т) Чтобы записать передаточную функцию, соответствующую данной математической модели, нужно учесть, что передаточная функция определяет отношение между входным и выходным сигналом в системе.

Так как входным сигналом является напряжение на конденсаторе C1, то передаточная функция будет отношением выходного напряжения на конденсаторе C2 к входному напряжению на конденсаторе C1.

Мы знаем, что ток через конденсатор C1 равен \( I_{C1} = C1 \cdot \frac{{dV_{C1}}}{{dt}} \), а ток через конденсатор C2 равен \( I_{C2} = C2 \cdot \frac{{dV_{C2}}}{{dt}} \). Также мы знаем, что сумма токов через оба конденсатора равна нулю, так как они соединены параллельно: \( I_{C1} + I_{C2} = 0 \).

Следовательно, мы можем записать передаточную функцию G(s) как:

\[ G(s) = \frac{{V_{C2}(s)}}{{V_{C1}(s)}} = \frac{{I_{C2}(s)}}{{I_{C1}(s)}} = \frac{{C2}}{{C1}} \]

где \( V_{C2}(s) \) и \( V_{C1}(s) \) - преобразования Лапласа выходного и входного напряжений на конденсаторах соответственно.

Таким образом, передаточная функция равна \( G(s) = \frac{{C2}}{{C1}} \)