Для треугольника ABC с вершинами A (1;2;3), B (4;-10;7), C (3;-1;9): 1) Что такое координаты середины отрезка

Як

60

1) Чтобы найти координаты середины отрезка BC, мы должны воспользоваться формулой для нахождения среднего значения двух точек в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[ \text{Середина отрезка BC} = \left( \frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}, \frac{{z_B + z_C}}{2} \right) \]

где \(x_B, y_B, z_B\) - координаты точки B, а \(x_C, y_C, z_C\) - координаты точки C.

В данном случае, координаты точки B равны (4, -10, 7), а координаты точки C равны (3, -1, 9). Подставим эти значения в формулу:

\[ \text{Середина отрезка BC} = \left( \frac{{4 + 3}}{2}, \frac{{-10 + (-1)}}{2}, \frac{{7 + 9}}{2} \right) \]

Упрощая выражение, получаем:

\[ \text{Середина отрезка BC} = \left( \frac{7}{2}, \frac{-11}{2}, 8 \right) \]

Таким образом, координаты середины отрезка BC равны \(\left( \frac{7}{2}, \frac{-11}{2}, 8 \right)\).

2) Чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины треугольника, мы воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 + (z - z_M)^2}} \]

где \(x, y, z\) - координаты вершины, а \(x_M, y_M, z_M\) - координаты середины противоположной стороны.

В данном случае, нам нужно найти длину медианы из вершины A. Координаты вершины A равны (1, 2, 3), а координаты середины отрезка BC мы уже нашли в первом вопросе - (7/2, -11/2, 8). Подставим эти значения в формулу:

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{(1 - 7/2)^2 + (2 + 11/2)^2 + (3 - 8)^2}} \]

Упрощая выражение, получаем:

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{(-5/2)^2 + (15/2)^2 + (-5)^2}} \]

Раскрываем скобки и продолжаем упрощать:

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{\frac{25}{4} + \frac{225}{4} + 25}} \]

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{\frac{275}{4} + 25}} \]

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{\frac{275 + 100}{4}}} \]

\[ \text{Длина медианы} = \sqrt{{\frac{375}{4}}} \]

\[ \text{Длина медианы} = \frac{{\sqrt{375}}}{2} \]

Итак, длина медианы, проведенной из вершины A, равна \(\frac{{\sqrt{375}}}{2}\).