Для заданного натурального числа n, какое значение получим, если сложим все степени 3 от 1 до n? (Паскаль

Moroznaya_Roza

23

Чтобы решить данную задачу, давайте последовательно сложим все степени 3 от 1 до n и посмотрим, какое значение получится.

Пусть у нас задано натуральное число n.

Значит, нам нужно найти сумму всех степеней 3 от 1 до n.

1. Для начала найдем первую степень 3, то есть \(3^1 = 3\).

2. Затем найдем вторую степень 3, то есть \(3^2 = 9\).

3. Продолжим нашу последовательность и найдем третью степень 3, то есть \(3^3 = 27\).

4.Теперь сложим все полученные значения: 3 + 9 + 27.

Должное заметить, что данная последовательность представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий элемент равен предыдущему, умноженному на 3.

Таким образом, сумма всех степеней 3 от 1 до n равна:

\[S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^n\]

Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - q^n}}{{1-q}},\]

где \(a\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии (в данном случае 3), \(n\) - количество членов прогрессии.

Так как в нашей задаче первый член \(a = 3\) и знаменатель прогрессии \(q = 3\), мы можем заменить эти значения и записать формулу для нахождения суммы всех степеней 3 от 1 до n:

\[S = 3 \cdot \frac{{1 - 3^n}}{{1-3}}\]

Упростим данное выражение:

\[S = 3 \cdot \frac{{1 - 3^n}}{{-2}} = \frac{{3^n - 1}}{2}\]

Таким образом, значение суммы всех степеней 3 от 1 до n равно \(\frac{{3^n - 1}}{2}\).

Например, если \(n = 4\), то получим:

\[S = \frac{{3^4 - 1}}{2} = \frac{{81 - 1}}{2} = \frac{{80}}{2} = 40\]

В результате, при заданном натуральном числе n, получим значение суммы всех степеней 3 от 1 до n равное \(\frac{{3^n - 1}}{2}\).