Дoкaзать, что когда светoвoй луч oтразился oт плoскoгo зеркaлa, cooтношение e2=e1-2(е1,n)n выпo­лняется для единичных

Золотой_Горизонт

25

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим задачу о отражении светового луча от плоского зеркала.
2. Пусть e1 - единичный вектор падающего луча, e2 - единичный вектор отраженного луча, n - единичный вектор, нормальный к плоскости зеркала.
3. Для начала, докажем, что вектор e1, вектор e2 и вектор n лежат в одной плоскости.
4. Рассмотрим плоскость, проходящую через точку падения луча P и точку отражения луча R, и перпендикулярную нормали к зеркалу.
5. На этой плоскости можно ввести координатную систему, где вектор n будет лежать на оси Z.
6. В такой системе координат вектор e1 можно представить как:
\[e1 = (e1_x, e1_y, e1_z)\]
где e1_x и e1_y - проекции вектора e1 на плоскость падения луча, а e1_z - проекция на нормаль к зеркалу.
7. Также в такой системе координат вектор e2 можно записать как:
\[e2 = (e2_x, e2_y, e2_z)\]
где e2_x и e2_y - проекции вектора e2 на плоскость отражения луча, а e2_z - проекция на нормаль к зеркалу.
8. Так как векторы e1, e2 и n лежат в одной плоскости, то проекции их координат на оси X и Y равны.
Значит, e1_x = e2_x и e1_y = e2_y.
9. Подставим это в уравнение: e2 = e1 - 2(e1,n)n:
\[e2 = (e1_x, e1_y, e1_z) - 2((e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z))(n_x, n_y, n_z)\]
\[e2 = (e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_x, e1_y - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_y, e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z)\]
10. Используя равенство e1_x = e2_x и e1_y = e2_y, приведем уравнение к виду:
\[e2 = (e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_x, e2_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_y, e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z)\]
\[e2 = (e2_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_x, e2_y - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_y, e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z)\]
11. Так как проекции векторов e2 и n на плоскость отражения луча равны (e2_x = e1_x и e2_y = e1_y), упростим уравнение:
\[e2 = (e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_x, e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_y, e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z)\]
12. Получается, что все компоненты векторов e2 и e1 имеют вид:
e2_x = e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_x
e2_y = e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_y
e2_z = e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z
13. Подставим e2_x и e2_y из предыдущих пунктов в уравнение e2_x = e1_x - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_x и получим:
e2_x = e1_x - 2(e1_x \cdot n_x + e1_y \cdot n_y + e1_z \cdot n_z)n_x
e2_y = e1_x - 2(e1_x \cdot n_x + e1_y \cdot n_y + e1_z \cdot n_z)n_y
e2_z = e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z
14. Таким образом, мы получили требуемое соотношение:
e1_x - 2(e1_x \cdot n_x + e1_y \cdot n_y + e1_z \cdot n_z)n_x = e2_x
e1_y - 2(e1_x \cdot n_x + e1_y \cdot n_y + e1_z \cdot n_z)n_y = e2_y
e1_z - 2(e1_x, e1_y, e1_z) \cdot (n_x, n_y, n_z)n_z = e2_z
15. Соотношение e2 = e1 - 2(e1,n)n выполняется для единичных векторов n, нормали к плоскости зеркала, и единичных векторов падающего и отраженного лучей, e1.

Таким образом, мы доказали, что когда световой луч отражается от плоского зеркала, соотношение e2 = e1 - 2(e1,n)n выполняется для единичных векторов n, нормали к плоскости зеркала, и единичных векторов падающего и отраженного лучей, e1.