Доказать, что плоскости abc и a1b1c1 параллельны. (задача

Zolotoy_Klyuch

7

Для того чтобы доказать, что плоскости abc и a1b1c1 параллельны, необходимо убедиться, что их нормальные векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то это означает, что они имеют одинаковое направление или противоположное направление.

Дано: Плоскость abc с точками a, b и c, и плоскость a1b1c1 с точками a1, b1 и c1.

1. Представим плоскость abc в виде общего уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости можно записать в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты, а (x, y, z) - это произвольная точка на плоскости. Для удобства рассмотрим точку a как (x1, y1, z1), точку b как (x2, y2, z2) и точку c как (x3, y3, z3).

2. Найдем векторы ab и ac. Для этого вычитаем координаты точки a из координат точек b и c, соответственно:
\(\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a} = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)\)
\(\vec{ac} = \vec{c} - \vec{a} = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)\)

3. Найдем векторное произведение векторов ab и ac, чтобы получить нормальный вектор плоскости abc. Для этого используем формулу векторного произведения:
\(\vec{n} = \vec{ab} \times \vec{ac} = ((y2-y1)(z3-z1) - (z2-z1)(y3-y1), (z2-z1)(x3-x1) - (x2-x1)(z3-z1), (x2-x1)(y3-y1) - (y2-y1)(x3-x1))\)

4. Аналогично представим плоскость a1b1c1 в виде общего уравнения плоскости и найдем нормальный вектор для нее. Пусть точки a1, b1 и c1 имеют координаты (x1", y1", z1"), (x2", y2", z2") и (x3", y3", z3"), соответственно. Повторим шаги 2 и 3 для плоскости a1b1c1 и найдем нормальный вектор \(\vec{n}"\).

5. Теперь сравним найденные нормальные векторы \(\vec{n}\) и \(\vec{n}"\). Если они коллинеарны (т.е. сонаправлены или противоположно сонаправлены), то плоскости abc и a1b1c1 параллельны.

6. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{n}\) и \(\vec{n}"\) можно рассмотреть их координаты. Если соответствующие координаты пропорциональны (т.е. отношение каждой координаты одного вектора к соответствующей координате другого вектора постоянно), то векторы коллинеарны и плоскости параллельны.

7. Если координаты \(\vec{n}\) и \(\vec{n}"\) пропорциональны, то можно заключить, что плоскости abc и a1b1c1 параллельны.

Таким образом, доказывая, что нормальные векторы плоскостей коллинеарны, мы можем сделать вывод о параллельности самих плоскостей.