Доказать, что прямые ad и cd не являются перпендикулярными

Ангелина

24

Чтобы доказать, что прямые ad и cd не являются перпендикулярными, мы можем использовать геометрический подход и доказать, что угол между ними не равен 90 градусов.

Для начала, давайте представим точку d на координатной плоскости. Пусть координаты точки d будут (x, y).

Затем, давайте рассмотрим прямые ad и cd. Прямая ad проходит через точки a(х1, у1) и d(x, y), а прямая cd проходит через точки c(x2, y2) и d(x, y).

Известно, что угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), вычисляется по формуле:

\[k = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}\]

Для прямой ad, угловой коэффициент равен:

\[k_{ad} = \frac{y - у1}{x - x1}\]

А для прямой cd, угловой коэффициент равен:

\[k_{cd} = \frac{y - y2}{x - x2}\]

Если прямые ad и cd перпендикулярны, то их угловые коэффициенты должны быть отрицательно-обратными (обратными с той же осью).

Теперь, чтобы опровергнуть перпендикулярность прямых ad и cd, нам нужно показать, что их угловые коэффициенты не являются отрицательно-обратными.

Мы уже знаем, что угловой коэффициент прямой ad равен:

\[k_{ad} = \frac{y - у1}{x - x1}\]

А угловой коэффициент прямой cd равен:

\[k_{cd} = \frac{y - y2}{x - x2}\]

Если мы покажем, что \(k_{ad} \cdot k_{cd} \neq -1\), то это будет означать, что прямые ad и cd не являются перпендикулярными.

Подставим значения угловых коэффициентов:

\[\frac{y - у1}{x - x1} \cdot \frac{y - y2}{x - x2} \neq -1\]

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\[\frac{y^2 - y\cdot у2 - y1\cdot y + y1\cdot y2}{x^2 - x\cdot x2 - x1\cdot x + x1\cdot x2} \neq -1\]

Видим, что исключили общий множитель в числителе и знаменателе (x - x1) и (x - x2).

Теперь, чтобы продолжить, давайте предположим, что \(k_{ad} \cdot k_{cd} = -1\).

\[\frac{y^2 - y\cdot у2 - y1\cdot y + y1\cdot y2}{x^2 - x\cdot x2 - x1\cdot x + x1\cdot x2} = -1\]

Перемножим знаменатели и числители на (x - x1) \cdot (x - x2):

\[y^2 - y\cdot у2 - y1\cdot y + y1\cdot y2 = -1 \cdot (x^2 - x\cdot x2 - x1\cdot x + x1\cdot x2)\]

Раскроем скобки на правой части:

\[y^2 - y\cdot у2 - y1\cdot y + y1\cdot y2 = -x^2 + x\cdot x2 + x1\cdot x - x1\cdot x2\]

Теперь можно сгруппировать переменные:

\[y^2 - y\cdot у2 - y1\cdot y + y1\cdot y2 + x^2 - x\cdot x2 - x1\cdot x + x1\cdot x2 = 0\]

Далее, приведем подобные слагаемые:

\[y^2 - y\cdot (y2 + y1) + y1\cdot y2 + x^2 - x\cdot (x2 + x1) + x1\cdot x2 = 0\]

Теперь давайте проанализируем полученное выражение.

Мы знаем, что у нас есть точки a(х1, у1) и c(x2, y2). Если прямые ad и cd были бы перпендикулярными, то скобки \(y2 + y1\) и \(x2 + x1\) обнулились бы. Однако, это происходит только в случае, когда точки a и c находятся на одной вертикальной прямой.

В противном случае, когда прямые ad и cd не являются вертикальными, скобки \(y2 + y1\) и \(x2 + x1\) не обнуляются. Следовательно, полученное выражение не равно нулю. Это означает, что \(k_{ad} \cdot k_{cd} \neq -1\) и прямые ad и cd не перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что прямые ad и cd не являются перпендикулярными.