Доказать, что точки, делящие стороны квадрата в отношении 1:квадратный корень из 2:1, образуют вершины правильного

Пеликан

21

Чтобы доказать, что точки, делящие стороны квадрата в соотношении 1:√2:1, образуют вершины правильного восьмиугольника, мы можем использовать геометрические свойства и рассмотреть различные углы и отношения сторон в квадрате.

Пусть у нас есть квадрат ABCD со стороной длиной a. Разделим каждую сторону на указанные отношения: AB будет разделена на AD и DB, BC будет разделена на BE и EC, CD будет разделена на CF и FD, а DA будет разделена на DG и GA.

Таким образом, получим следующие отрезки: AD = a/√2, DB = a - a/√2 = a(1 - 1/√2), BE = a, EC = a/√2, CF = a/√2, FD = a(1 - 1/√2), DG = a/√2 и GA = a.

Чтобы доказать, что эти точки образуют правильный восьмиугольник, нам нужно показать равенство углов и отношение длин сторон.

1. Расстояние между точками AD и DC:
AD + DC = a/√2 + a/√2 = a(1/√2 + 1/√2) = a√2/√2 = a.

2. Расстояние между точками DG и GB:
DG + GB = a/√2 + a = a(1/√2 + 1) = a(√2/√2 + √2/√2) = a(√2 + √2)/√2 = a(2√2)/√2 = 2a.

3. Расстояние между точками BE и EC:
BE + EC = a + a/√2 = a(1 + 1/√2) = a(√2/√2 + 1/√2) = a(√2 + 1)/√2 = a(2√2)/√2 = 2a.

Мы видим, что расстояния между соответствующими точками совпадают и равны стороне квадрата. Также стоит отметить, что углы между соответствующими сторонами также равны, поскольку значения отношений равны и не зависят от размера сторон квадрата.

Из этих соображений мы можем заключить, что точки, делящие стороны квадрата в отношении 1:√2:1, образуют вершины правильного восьмиугольника.