Доказать, что треугольник ABC параллеленограмма

Lyalya

51

Чтобы доказать, что треугольник ABC является параллелограммом, нам нужно проверить два условия:

1. Противоположные стороны треугольника должны быть параллельны.
2. Противоположные стороны треугольника должны быть равны по длине.

Давайте рассмотрим каждое из этих условий по очереди.

Условие 1: Параллельность противоположных сторон

Пусть AB и CD - это две противоположные стороны треугольника. Для доказательства их параллельности, мы используем одно из свойств параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Таким образом, если мы докажем, что AB || CD, то будет выполнено условие 1.

Условие 2: Равенство противоположных сторон

Пусть AB и CD - это две противоположные стороны треугольника. Для доказательства их равенства, мы будем использовать еще одно свойство параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

Таким образом, если мы докажем, что |AB| = |CD|, то будет выполнено условие 2.

Итак, давайте приступим к самому доказательству.

Шаг 1: Параллельность противоположных сторон

Пусть M и N - это точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (для удобства обозначения). Так как ABCD - параллелограмм, то диагонали AC и BD делят друг друга пополам в точках M и N. Это означает, что AM = MC и BN = ND.

Шаг 2: Равенство противоположных сторон

Треугольники AMB и CND являются равнобедренными, потому что равны диагонали параллелограмма и их боковые стороны равны соответственно: AM = MC и BN = ND.

Теперь давайте рассмотрим отрезки AB и CD. Мы имеем AM = MC и BN = ND.

Так как AM = MC и BN = ND, то по теореме о равных частях равны диагоналя AM и сторона AB, а также диагональ BN и сторона CD.

Таким образом, мы доказали, что AB || CD и |AB| = |CD|.

Исходя из условий 1 и 2, мы сделали вывод, что треугольник ABC является параллелограммом.