Возможно ли в плоскости разместить бесконечное количество n-угольников таким образом, чтобы каждые 185 углов имели одну

Бабочка

15

Да, возможно разместить в плоскости бесконечное количество n-угольников таким образом, чтобы каждые 185 углов имели одну и ту же точку пересечения, и при этом существовала точка, не принадлежащая ни одному из этих n-угольников. Для доказательства этого факта, рассмотрим следующую конструкцию:

Предположим, у нас есть n-угольник с вершинами A₁, A₂, ..., Aₙ. Мы можем выбрать одну из его диагоналей, например, диагональ A₁A₂. Затем, мы можем разделить эту диагональ на 184 равные части, получая 185 точек на диагонали (включая вершины), обозначим их точками B₁, B₂, ..., B₁₈₅.

Теперь мы можем построить следующие n-угольники: A₁B₁B₂, A₂B₂B₃, ..., AₙB₁₈₄B₁₈₅.

Заметим, что каждый из этих n-угольников имеет общую точку пересечения, а именно точку B₁. Кроме того, есть точка A₁, принадлежащая только первому n-угольнику и не принадлежащая ни одному из остальных. Это означает, что у нас имеется бесконечное количество n-угольников, каждые 185 углов которых пересекаются в точке B₁, но существуют точки, не принадлежащие ни одному из этих n-угольников.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что возможно разместить бесконечное количество n-угольников в плоскости таким образом, чтобы каждые 185 углов имели одну и ту же точку пересечения, но при этом существовала точка, не принадлежащая ни одному из этих n-угольников.