В треугольнике ABC медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O. DE параллельна AC (смотрите рисунок). Определите значение

Милочка

66

Итак, у нас есть треугольник \( ABC \) с медианами \( AA_1 \) и \( BB_1 \), пересекающимися в точке \( O \), и прямая \( DE \), параллельная стороне \( AC \). Мы хотим найти значение параметра \( k \), так чтобы вектор \( AC \) был равен \( k \) умножить на вектор \( DE \).

Давайте разберемся:

1. Поскольку \( DE \parallel AC \), у нас есть подобие треугольников \( \triangle ADE \) и \( \triangle ABC \). По свойству параллельных линий, соответствующие стороны параллельных треугольников пропорциональны.
То есть, \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{AC}\).

2. Так как \( O \) - точка пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1. Значит, \( AO = 2 \cdot OA_1 \) и \( BO = 2 \cdot OB_1 \).
Это означает, что вектор \( AO = 2 \cdot A_1O \) и вектор \( BO = 2 \cdot B_1O \).

3. Теперь, обратим внимание, что вектор \( AC = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \). Мы также можем записать вектор \( DE = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DE} \).

4. Таким образом, условие \( AC = k \cdot DE \) превращается в уравнение:

\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = k \cdot (\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DE})
\]

5. Пользуясь тем, что для векторов справедливо свойство \( \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \), мы можем записать \( \overrightarrow{OD} \) и \( \overrightarrow{DE} \) через векторы \( OA_1 \) и \( OB_1 \):

\[
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{OA}
\]
\[
\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{EA_1} = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{DA}
\]

6. Подставим это в уравнение и далее упростим:

\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = k \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{DA} \right)
\]

7. С учетом, что \( \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OA} \) (векторы \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{BO} \) сонаправлены, но имеют разную длину), мы можем продолжить упрощение и найти значение параметра:

\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = k \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{AB} \right)
\]

8. Раскрыв скобки и объединив подобные векторы, мы получим уравнение для нахождения параметра \( k \):

\[
\frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{k}{3} \cdot \overrightarrow{OA}
\]

9. Таким образом, значение параметра \( k \) равно \( 2 \).

Таков подробный процесс нахождения значения параметра \( k \) для данной задачи.