Доказать неравенство: x^2 + 9y^4 + 1 ≥ -3xy^2 - x + 3y^2

Мила_8873

65

Хорошо, чтобы доказать данное неравенство, мы воспользуемся методом математической индукции. Позвольте мне пошагово решить эту задачу для вас:

Шаг 1: База индукции
Для начала заметим, что неравенство верно при x = 0 и y = 0. Подставим x = 0 и y = 0 в обе части неравенства и проверим:
0^2 + 9(0^4) + 1 ≥ -3(0)(0^2) - 0 + 3(0^2)
1 ≥ 0
Полученное неравенство верно, таким образом база индукции доказана.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что неравенство верно для некоторых фиксированных значений x = a и y = b, то есть:
a^2 + 9b^4 + 1 ≥ -3ab^2 - a + 3b^2

Шаг 3: Индуктивный переход
Теперь докажем, что неравенство будет верно при x = a + 1 и y = b + 1.
(x+1)^2 + 9(y+1)^4 + 1 ≥ -3(x+1)(y+1)^2 - (x+1) + 3(y+1)^2
(a+1)^2 + 9(b+1)^4 + 1 ≥ -3(a+1)(b+1)^2 - (a+1) + 3(b+1)^2
a^2 + 2a + 1 + 9b^4 + 18b^3 + 12b^2 + 3b + 1 ≥ -3ab^2 - 3a - 3b^2 - 3b - a - 1 + 3b^2 + 6b + 3
a^2 + 9b^4 + 1 + 2a + 18b^3 + 12b^2 + 3b ≥ -3ab^2 - 3a - 3b^2 - 3b - a + 3b^2 + 3a + 6b + 2
a^2 + 9b^4 + 1 + 2a + 18b^3 + 12b^2 + 3b ≥ -3ab^2 - 3b^2 - a + 6b + 2

Теперь мы должны доказать, что выражение слева больше или равно выражению справа.
a^2 + 9b^4 + 1 ≥ -3ab^2 - 3b^2 - a + 6b + 2

Мы знаем, что предположение индукции верно для a и b, поэтому мы можем заменить левую часть выражения на значение, которое уже доказано:
-3ab^2 - 3b^2 - a + 6b + 2 ≥ -3ab^2 - 3b^2 - a + 6b + 2

Таким образом, мы видим, что выражение слева больше или равно выражению справа, что доказывает справедливость неравенства для x = a + 1 и y = b + 1.

Шаг 4: Вывод
Таким образом, по принципу математической индукции мы доказали, что неравенство x^2 + 9y^4 + 1 ≥ -3xy^2 - x + 3y^2 верно для всех значений x и y.