Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, и найдите координаты его центра симметрии, если известны

Magnitnyy_Marsianin

29

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно проверить два условия:

1. Противоположные стороны четырехугольника параллельны.
2. Противоположные стороны четырехугольника равны по длине.

Давайте рассмотрим каждое из этих условий по очереди.

1. Чтобы проверить, что противоположные стороны четырехугольника параллельны, мы можем вычислить векторные произведения двух сторон и проверить их равенство нулю.

Векторное произведение двух векторов можно найти следующим образом:

\[\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = (a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2) = (b_1c_2 - b_2c_1, c_1a_2 - c_2a_1, a_1b_2 - a_2b_1)\]

Для нашего четырехугольника, выберем сторону AB и сторону CD, а также сторону BC и сторону AD.

Векторная разность двух точек A и B даст нам вектор AB, а векторная разность двух точек C и D даст нам вектор CD. Точно так же, векторная разность двух точек B и C даст нам вектор BC, а векторная разность двух точек A и D даст нам вектор AD.

AB: \(\mathbf{v_1} = (-5-(-2), -6-(-4), -1-1) = (-3, -2, -2)\)
CD: \(\mathbf{v_2} = (7-4, 12-10, 5-3) = (3, 2, 2)\)

BC: \(\mathbf{v_3} = (4-(-5), 10-(-6), 3-(-1)) = (9, 16, 4)\)
AD: \(\mathbf{v_4} = (-2-7, -4-12, 1-5) = (-9, -16, -4)\)

Теперь найдем векторные произведения этих сторон.

\(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = (-2 \cdot 2 - (-2) \cdot 2, (-2) \cdot 3 - (-2) \cdot 3, (-3) \cdot 2 - (-2) \cdot 3) = (0, 0, 0)\)

\(\mathbf{v_3} \times \mathbf{v_4} = (16 \cdot (-4) - (-16) \cdot (-4), (-9) \cdot 4 - (-9) \cdot 4, (-9) \cdot (-16) - 4 \cdot (-4)) = (0, 0, 0)\)

Векторные произведения этих сторон равны нулю, что означает, что противоположные стороны AB и CD, а также BC и AD, параллельны.

Теперь докажем второе условие:

2. Чтобы проверить, что противоположные стороны четырехугольника равны по длине, мы можем вычислить расстояния между точками A и B, B и C, C и D, а также D и A, и убедиться, что они все равны.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Расстояние между точками A и B:

\[d_{AB} = \sqrt{((-5)-(-2))^2 + ((-6)-(-4))^2 + ((-1)-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}\]

Расстояние между точками B и C:

\[d_{BC} = \sqrt{(4-(-5))^2 + (10-(-6))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{81 + 256 + 16} = \sqrt{353}\]

Расстояние между точками C и D:

\[d_{CD} = \sqrt{(7-4)^2 + (12-10)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}\]

Расстояние между точками D и A:

\[d_{DA} = \sqrt{((-2)-7)^2 + ((-4)-12)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{81 + 256 + 16} = \sqrt{353}\]

Мы видим, что все расстояния между противоположными сторонами равны. Это доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь найдем координаты центра симметрии параллелограмма. Центр симметрии параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей. Для нахождения координат центра симметрии мы можем найти среднее арифметическое координат двух противоположных вершин.

Суммируем координаты вершин A и C и делим каждую компоненту на 2:

\[x = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]
\[y = \frac{-4 + 10}{2} = 3\]
\[z = \frac{1 + 3}{2} = 2\]

Таким образом, координаты центра симметрии параллелограмма ABCD равны (1, 3, 2).

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, и нашли координаты его центра симметрии.