Докажите, что число 1-корень - иррациональное

Anzhela

5

Чтобы доказать, что число \(1 - \sqrt{2}\) является иррациональным, мы должны предположить обратное утверждение – что это число является рациональным. Давайте предположим, что \(1 - \sqrt{2}\) – рациональное число и может быть представлено в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) – целые числа, а \(q\) не равно нулю.

Тогда мы можем записать уравнение: \(1 - \sqrt{2} = \frac{p}{q}\).

Для удобства перемножим обе части уравнения на \(q\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(q - q\sqrt{2} = p\).

Теперь давайте возведем обе части этого уравнения в квадрат:

\((q - q\sqrt{2})^2 = p^2\).

Раскроем скобки:

\(q^2 - 2q^2\sqrt{2} + 2q^2 = p^2\).

Разделим это уравнение на 2 (для удобства обозначения):

\(\frac{q^2 + 2q^2}{2} - q^2\sqrt{2} = \frac{p^2}{2}\).

Упростим его:

\(\frac{3q^2}{2} - q^2\sqrt{2} = \frac{p^2}{2}\).

Теперь давайте рассмотрим первое слагаемое \(\frac{3q^2}{2}\). Поскольку \(q\) – целое число, \(q^2\) является целым числом, а значит \(\frac{3q^2}{2}\) также является целым числом.

Теперь давайте рассмотрим второе слагаемое \(-q^2\sqrt{2}\). Мы знаем, что \(\sqrt{2}\) является иррациональным числом (так как оно не может быть представлено в виде дроби), а \(q^2\) – целое число.

Получается, что сумма двух чисел (целого и иррационального) должна быть равна рациональному числу \(\frac{p^2}{2}\). Это противоречие, так как сумма рационального и иррационального числа не может быть рациональным числом.

Таким образом, наше предположение неверно, и число \(1 - \sqrt{2}\) является иррациональным.