Докажите, что длина отрезка BM меньше суммы длин остальных сторон треугольника

Stanislav

39

Хорошо, давайте докажем данное утверждение.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, а отрезок BM является медианой, проходящей из вершины B и делит сторону AC пополам. Наша цель - доказать, что длина отрезка BM меньше суммы длин оставшихся двух сторон треугольника.

Для начала, обратимся к свойству медианы треугольника. Медиана всегда делит сторону треугольника, из которой она проведена, пополам. То есть, отрезок AM равен отрезку MC.

Затем вспомним неравенство треугольника. В треугольнике сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Применяя это неравенство к треугольнику AMB и треугольнику CMB, мы получим следующие неравенства:

AB + BM > AM
BC + BM > CM

Теперь заметим, что сторона AM равна стороне CM. Подставив это значение в неравенства, получим:

AB + BM > AM
BC + BM > AM

Суммируем эти два неравенства:

AB +BM + BC + BM > AM + AM
AB + BC + 2BM > 2AM

Так как мы знаем, что AM равняется дважды отрезку BM, то можно записать:

AB + BC + 2BM > 2(2BM)
AB + BC + 2BM > 4BM

Упростим неравенство:

AB + BC > 2BM

Таким образом, мы доказали, что сумма длин двух сторон треугольника AB и BC больше, чем удвоенная длина отрезка BM. Или, другими словами, длина отрезка BM меньше суммы длин оставшихся двух сторон треугольника.

Это доказательство демонстрирует, что длина отрезка BM действительно меньше суммы длин оставшихся двух сторон треугольника. Надеюсь, теперь понятно, как было получено данное утверждение.