Докажите, что для всех точек ХиҮ на плоскости выполняется равенство | ХВ - ХА |

Baron

10

Чтобы доказать равенство \(|ХВ - ХА|\) для всех точек Х на плоскости, давайте рассмотрим геометрическое представление этого равенства.

Предположим, что точки А и В заданы координатами \((x_A, y_A)\) и \((x_B, y_B)\) соответственно. Для представления точки Х на плоскости, мы будем использовать координаты \((x, y)\).

Длина отрезка АВ определяется формулой расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

\[|ХА| = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}\]

Аналогично, длина отрезка ВХ задается следующим образом:

\[|ХВ| = \sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2}\]

Теперь мы можем вывести формулу для выражения \(|ХВ - ХА|\):

\[|ХВ - ХА| = |ХВ| - |ХА| = \sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2} - \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}\]

Однако, обычно задача требует доказательство, что для всех точек Х на плоскости выполняется равенство \(|ХВ - ХА| = 0\). Другими словами, нужно доказать, что отрезок АВ равен нулю, что будет означать совпадение точек.

Чтобы доказать равенство \(|ХВ - ХА| = 0\), необходимо показать, что:

\(\sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2} = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}\)

Это равенство можно преобразовать следующим образом:

\((x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2\)

Продолжая преобразования, мы можем сократить части равенства и получить следующие результаты:

\(2(x_A - x_B) x + 2(y_A - y_B) y = (x_A^2 + y_A^2) - (x_B^2 + y_B^2)\)

В этом уравнении, коэффициенты 2(x_A - x_B) и 2(y_A - y_B) по сути являются разными представлениями наклонных коэффициентов прямой, проходящей через точки A и B. Поэтому мы можем записать искомое уравнение в следующей форме:

\(Ax + By + C = 0\)

где A = 2(y_A - y_B), B = 2(x_B - x_A) и C = (x_A^2 + y_A^2) - (x_B^2 + y_B^2).

Итак, если для всех точек Х на плоскости выполняется равенство \(|ХВ - ХА| = 0\), это означает, что все эти точки лежат на одной прямой. Это может быть полезным, например, при решении задач, связанных с нахождением одной прямой, проходящей через две заданные точки.

Таким образом, мы доказали равенство для всех точек Х на плоскости \(|ХВ - ХА|\) и получили уравнение прямой, проходящей через точки А и В на плоскости.