Докажите, что для всех возможных значений переменной a значение выражения: 4a-4-a^2/a^4+1

Yaschik

69

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Нам дано выражение \(4a - 4 - \frac{a^2}{a^4 + 1}\), и нам нужно доказать, что оно верно для всех возможных значений переменной \(a\).

Шаг 1: Найдем общий знаменатель.

Для этого приведем дробь \(\frac{a^2}{a^4 + 1}\) к общему знаменателю с \(4a - 4\). Знаменатели уравняются, если умножить числитель и знаменатель дроби \(\frac{a^2}{a^4 + 1}\) на \(a^4 + 1\):

\(\frac{a^2}{a^4 + 1} \cdot \frac{a^4 + 1}{a^4 + 1} = \frac{a^2(a^4 + 1)}{a^4 + 1}\).

Таким образом, наше исходное выражение можно переписать следующим образом:

\(4a - 4 - \frac{a^2(a^4 + 1)}{a^4 + 1}\).

Шаг 2: Упростим выражение.

Раскроем скобки в числителе и получим:

\(4a - 4 - \frac{a^6 + a^2}{a^4 + 1}\).

Шаг 3: Объединим слагаемые в выражении.

Чтобы объединить слагаемые, можно заметить, что \(4\) можно представить как \(\frac{4(a^4 + 1)}{a^4 + 1}\):

\(\frac{4(a^4 + 1)(a - 1) - (a^6 + a^2)}{a^4 + 1}\).

Преобразуем это выражение:

\(\frac{4a^5 - 4a^4 + 4a - 4 - a^6 - a^2}{a^4 + 1}\).

Шаг 4: Упростим еще больше.

Переставим слагаемые в числителе в порядке убывания степеней \(a\):

\(\frac{-a^6 + 4a^5 - 4a^4 - a^2 + 4a - 4}{a^4 + 1}\).

Шаг 5: Разложим числитель на множители.

Мы можем разложить числитель на множители, чтобы упростить выражение еще больше:

\(\frac{-(a^6 - 4a^5 + 4a^4 + a^2 - 4a + 4)}{a^4 + 1}\).

Шаг 6: Упростим числитель.

А теперь упростим числитель. Заметим, что числитель представляет собой куб разности \(a^2\) и \(2a\), умноженный на \(-(a^4 - 4a^3 + 4a^2)\) и увеличенный на \((-4a + 4)\):

\(\frac{-[(a^2 - 2a)^3 + 4(a - 1)]}{a^4 + 1}\).

Теперь мы видим, что числитель равен \(-[(a^2 - 2a)^3 + 4(a - 1)]\).

Шаг 7: Разложим \((a^2 - 2a)^3\).

Выражение \((a^2 - 2a)^3\) можно разложить с использованием формулы суммы кубов:

\((a^2 - 2a)^3 = a^6 - 6a^5 + 12a^4 - 8a^3\).

Шаг 8: Заменим числитель на разложение.

Теперь, подставив разложение \((a^2 - 2a)^3\) в числитель, получим:

\(\frac{-[a^6 - 6a^5 + 12a^4 - 8a^3 + 4(a - 1)]}{a^4 + 1}\).

Шаг 9: Упростим числитель еще раз.

Для упрощения числителя сложим соответствующие слагаемые:

\(\frac{-[a^6 - 6a^5 + 12a^4 - 8a^3 + 4a - 4]}{a^4 + 1}\).

Шаг 10: Упростим окончательно.

Теперь упростим данное выражение еще раз, приведя числитель и знаменатель:

\(\frac{4a^4 - 8a^3 + 12a^4 - 6a^5 - 4}{a^4 + 1}\).

Общий знаменатель \(a^4 + 1\) не имеет нулевых точек, поэтому наше исходное выражение

\(4a - 4 - \frac{a^2}{a^4 + 1}\)

можно упростить как:

\(\frac{4a^4 - 8a^3 + 12a^4 - 6a^5 - 4}{a^4 + 1}\).

Таким образом, мы доказали, что данное выражение верно для всех возможных значений переменной \(a\).