Скільки різних способів можна вибрати трьох делегатів на шкільну конференцію з класу, в якому навчаються 18 учнів?

Екатерина

28

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и формулу для нахождения количества сочетаний из \(n\) по \(k\), где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которое мы выбираем.

В данном случае, у нас 18 учеников, и мы хотим выбрать 3 делегата. Поэтому нам нужно найти количество сочетаний из 18 по 3.

Формула для нахождения количества сочетаний из \(n\) по \(k\) выглядит следующим образом:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где "!" обозначает факториал числа.

Применяя эту формулу к нашей задаче, получаем:

\[\binom{18}{3} = \frac{18!}{3!(18-3)!}\]

Вычислим значения факториалов:

\[
\begin{align*}
18! &= 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\
3! &= 3 \times 2 \times 1 \\
(18-3)! &= 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\end{align*}
\]

Подставим значения факториалов в формулу:

\[
\binom{18}{3} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}
\]

Множители \(3 \times 2 \times 1\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\[
\binom{18}{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{15 \times 14 \times 13}
\]

Теперь можно вычислить это значение:

\[
\binom{18}{3} = \frac{4896}{2730} = 56
\]

Таким образом, существует 56 различных способов выбрать 3 делегатов на школьную конференцию из класса, состоящего из 18 учеников.