Как найти решения уравнения [tex](4 sin ^{2}x - 1) sqrt{x^{2} - 64 pi ^{2} } = 0[/tex]?

Подсолнух

46

Чтобы найти решения данного уравнения \((4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0\), нам необходимо найти те значения \(x\), при которых выражение в скобках равно нулю.

Давайте начнем с рассмотрения выражения в скобках \((4 \sin ^{2}x - 1)\). Чтобы это выражение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы \(\sin ^{2}x = \frac{1}{4}\). Поскольку \(\sin ^{2}x\) - это квадрат синуса угла \(x\), то значение \(\sin ^{2}x = \frac{1}{4}\) можно записать как \(\sin x = \frac{1}{2}\) или \(\sin x = -\frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим вторую часть уравнения \(\sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2}}\). Для того чтобы это выражение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы \(x^{2} - 64\pi ^{2} = 0\). Решая это уравнение, мы получаем два значения: \(x = 8\pi\) и \(x = -8\pi\).

Итак, для того чтобы уравнение \((4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0\) имело решения, \(x\) должен удовлетворять двум условиям:

1. \(\sin x = \frac{1}{2}\) или \(\sin x = -\frac{1}{2}\)
2. \(x = 8\pi\) или \(x = -8\pi\)

А чтобы найти все решения, вам необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих двух условий.