Докажите, что если диагональ параллелограмма разделена на три равные части, то точки деления и две другие вершины

Zvezdnyy_Pyl

28

Конечно! Давайте посмотрим на доказательство.

Дано: Параллелограмм ABCD, в котором диагональ BD делится на три равные части точками M и N, а также дано, что эти точки и две другие вершины (A и C) образуют дополнительный параллелограмм.

Чтобы доказать, что AMNC - дополнительный параллелограмм, мы должны показать, что его стороны параллельны и что их длины равны.

1. Докажем, что стороны параллельны:
Рассмотрим параллелограмм ABCD. Параллельные стороны параллелограмма будут обозначены одинаковыми буквами с тильдой. Таким образом, AB || CD и AD || BC.

Также, по свойству параллелограммов, диагонали параллелограмма делятся пополам. То есть, BM = MD и AN = NC.

Используя эти факты, можем сделать следующие выводы:
AB || CD (1),
AD || BC (2),
BM = MD (3),
AN = NC (4).

Теперь рассмотрим четырехугольник AMNC. Мы можем сделать следующие выводы на основе данных (1)-(4):
AB || CD (на основе (1)),
AD || BC (на основе (2)),
BM = MD (на основе (3)),
AN = NC (на основе (4)).

Таким образом, мы доказали, что стороны параллельны в параллелограмме AMNC, что является одним из условий для того, чтобы AMNC был дополнительным параллелограммом.

2. Докажем, что стороны равны:
Для доказательства равенства длин сторон, рассмотрим векторы в параллелограмме AMNC.

Обозначим вектор AB как \(\overrightarrow{a}\), вектор AN как \(\overrightarrow{b}\) и вектор AM как \(\overrightarrow{m}\).

Тогда векторы NC и MD можно обозначить как \(\overrightarrow{n}\) и \(\overrightarrow{m+d}\) соответственно.

Поскольку векторы BM и MD равны (это следует из факта, что BM = MD), то мы можем рассмотреть вектор \(\overrightarrow{m+d}\) как \(\overrightarrow{m}\).

Теперь, чтобы доказать, что стороны равны, нам нужно показать, что векторы AM и NC равны.

Мы знаем, что точки M и N делят диагональ BD пополам, поэтому векторы BM и ND также равны. То есть, \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{n}\).

Таким образом, мы показали, что векторы AM и NC равны, что является одним из условий для того, чтобы AMNC был дополнительным параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что если диагональ параллелограмма разделена на три равные части, то точки деления и две другие вершины образуют дополнительный параллелограмм AMNC.