Докажите, что если объект движется в соответствии с законом s(t) = ae^t + be^-t (м), то его ускорение равно производной
Докажите, что если объект движется в соответствии с законом s(t) = ae^t + be^-t (м), то его ускорение равно производной от пройденного пути.
Оса 56
Хорошо, давайте докажем, что ускорение объекта, движущегося в соответствии с законом \(s(t) = ae^t + be^{-t}\), равно производной от пройденного пути.Для начала, давайте выразим производную от \(s(t)\). Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования для экспоненциальной функции и суммы функций.
Правило дифференцирования для экспоненты гласит:
\[\frac{{d}}{{dt}}(e^x) = e^x\]
И правило дифференцирования для суммы:
\[\frac{{d}}{{dt}}(f(x) + g(x)) = \frac{{df}}{{dx}} + \frac{{dg}}{{dx}}\]
Теперь, найдем производную от \(s(t)\) по времени \(t\):
\[\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(ae^t + be^{-t})\]
\[\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(ae^t) + \frac{{d}}{{dt}}(be^{-t})\]
Применяем правило дифференцирования для экспоненты и получаем:
\[\frac{{ds}}{{dt}} = ae^t - be^{-t}\]
Таким образом, производная от \(s(t)\) равна
\[\frac{{ds}}{{dt}} = ae^t - be^{-t}\]
Известно, что производная от функции \(s(t)\) представляет собой скорость объекта \(v(t)\). Теперь найдем вторую производную \(v"(t)\), чтобы найти ускорение:
\[v"(t) = \frac{{d}}{{dt}}(ae^t - be^{-t})\]
Снова применим правило дифференцирования для экспоненты:
\[v"(t) = \frac{{d}}{{dt}}(ae^t) - \frac{{d}}{{dt}}(be^{-t})\]
\[v"(t) = ae^t + be^{-t}\]
Обратим внимание, что получили функцию, которая очень похожа на начальную функцию \(s(t)\). Таким образом, \(v"(t)\) равно \(s(t)\), но с противоположными знаками коэффициентов. Также, \(v"(t)\) — это производная от проходного пути \(s(t)\), что является определением ускорения.
Таким образом, мы доказали, что если объект движется в соответствии с законом \(s(t) = ae^t + be^{-t}\), то его ускорение равно производной от пройденного пути.