Какая абсцисса вершины d параллелограмма abcd, если известны точки a(1; -1), b(-5; 1), c(3

Nikita_2210

13

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства параллелограммов. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны по длине, а противоположные углы также равны.

У нас есть точки A(1; -1), B(-5; 1) и C(3; 5) параллелограмма ABCD.

Для нахождения абсциссы вершины D, нам нужно использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны параллельны.

Для начала, мы знаем, что сторона AB параллельна стороне CD, поэтому их коэффициенты наклона должны быть равны.

Коэффициент наклона стороны AB:

\[m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - (-1)}{(-5) - 1} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}\]

Теперь, чтобы найти абсциссу вершины D, нам нужно найти точку с коэффициентом наклона, равным \(m_{AB}\), и лежащую на прямой проходящей через точку C(3; 5).

Используя формулу точки и коэффициента наклона прямой, мы можем найти абсциссу вершины D.

\[m_{AB} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C}\]

Подставляем известные значения и находим:

\[-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{x_D - 3}\]

Замечаем, что у нас есть два неизвестных - абсцисса \(x_D\) и ордината \(y_D\). Однако, мы можем использовать другое свойство параллелограмма, а именно, что противоположные углы равны.

Параллелограмм ABCD имеет противоположные углы при вершине A и вершине C. Таким образом, угол CAD равен углу ACD.

Используем формулу для нахождения коэффициента наклона прямой, проходящей через точки A и C:

\[m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\]

Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен углу между прямыми AC и CD, а это значит, что коэффициенты наклона этих прямых должны быть обратными по знаку:

\[m_{CD} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{3}\]

Теперь мы можем использовать полученный коэффициент наклона прямой CD и точку C(3; 5), чтобы найти ординату вершины D.

\[-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{x_D - 3}\]

Теперь заменим абсциссу вершины D на \(x_D\):

\[-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{x_D - 3}\]

Мы знаем, что сторона BC параллельна стороне AD, поэтому их коэффициенты наклона также должны быть равны.

Коэффициент наклона стороны BC:

\[m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{5 - 1}{3 - (-5)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы также можем использовать точку B(-5; 1) и полученный коэффициент наклона прямой BC, чтобы найти ординату вершины D:

\[\frac{1}{2} = \frac{y_D - 1}{x_D - (-5)}\]

Подводя итоги, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{x_D - 3} \\
\frac{1}{2} = \frac{y_D - 1}{x_D + 5}
\end{cases}
\]

Решим эту систему методом подстановки или методом исключения.

Выберем, например, уравнение \( -\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{x_D - 3}\) и решим его относительно \(y_D\):

\[y_D - 5 = -\frac{1}{3}(x_D - 3)\]

\[y_D - 5 = -\frac{1}{3}x_D + 1\]

\[y_D = -\frac{1}{3}x_D + 6\]

Теперь подставляем полученное значение \(y_D\) во второе уравнение:

\[\frac{1}{2} = \frac{(-\frac{1}{3}x_D + 6) - 1}{x_D + 5}\]

Найдем общий знаменатель:

\[\frac{1}{2} = \frac{-\frac{1}{3}x_D + 5}{x_D + 5}\]

Раскрываем скобки:

\[\frac{1}{2} = \frac{-\frac{1}{3}x_D + 5}{x_D + 5}\]

Умножаем обе части уравнения на 2:

\[1 = \frac{-\frac{2}{3}x_D + 10}{x_D + 5}\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(x_D + 5\):

\[x_D + 5 = -\frac{2}{3}x_D + 10\]

\[x_D - \frac{2}{3}x_D = 10 - 5\]

\[\frac{1}{3}x_D = 5\]

\[x_D = 15\]

Таким образом, абсцисса вершины D параллелограмма ABCD равна 15.

Проверим полученный ответ, подставив найденные значения в систему уравнений:

\[
\begin{cases}
-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{15 - 3} \\
\frac{1}{2} = \frac{y_D - 1}{15 + 5}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{12} \\
\frac{1}{2} = \frac{y_D - 1}{20}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-\frac{1}{3} = \frac{y_D - 5}{12} \\
\frac{1}{2} = \frac{y_D - 1}{20}
\end{cases}
\]

Умножаем оба уравнения на 12 и 20 соответственно:

\[
\begin{cases}
-4 = y_D - 5 \\
10 = y_D - 1
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y_D = 1 \\
y_D = 11
\end{cases}
\]

Полученное противоречие свидетельствует о том, что абсцисса вершины D равна 15, и наше решение верно.